# Mathematik & Physik Abitur (Analysis, Lineare Algebra & Stochastik): Kurvendiskussion, Integralrechnung, Vektorgeometrie (Ebenen/Geraden), Binomialverteilung, Elektrodynamik & Quantenphysik

> Komplettes Formel- und Methodentraining für das Mathematik-Abitur (Analysis: Ableitungen, e-Funktion, Integrale; Analytische Geometrie: Geraden, Ebenen, Abstände; Stochastik: Binomial- & Normalverteilung, Hypothesentests) und Physik-Abitur (Felder, Induktion, Schwingungen, Wellen, Quanten- & Atomphysik).

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## Flashcards (32 Cards)

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| 1 | Mathematik Abitur (Lineare Algebra / Analytische Geometrie — Skalarprodukt und Kreuzprodukt im $\mathbb{R}^3$): Welche geometrische Bedeutung haben das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ und das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) $\vec{a} \times \vec{b}$? | Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \cos(\varphi)$ (liefert eine reelle Zahl!). Orthogonalitätskriterium: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Vektorprodukt (Kreuzprodukt): $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$ liefert einen Vektor $\vec{n}$, der SENKRECHT auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht (ideal als Normalenvektor einer Ebene!). Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms: $A_{\text{Par}} = \|\vec{a} \times \vec{b}\|$; Flächeninhalt des Dreiecks: $A_{\Delta} = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$; Spatvolumen: $V_{\text{Spat}} = \|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\|$, Pyramidenvolumen mit dreieckiger Grundfläche: $V_{\text{Pyr}} = \frac{1}{6}\|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\|$. |  |  |
| 2 | Mathematik Abitur (Analytische Geometrie — Lagebeziehungen von zwei Geraden im $\mathbb{R}^3$): Welche 4 Lagebeziehungen können zwei Geraden $g: \vec{x} = \vec{p} + r\vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{q} + s\vec{v}$ im Raum haben und wie prüft man sie? | Schritt 1: Sind die Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ kollinear (Vielfache voneinander, $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$)? JA $\implies$ Geraden sind parallel: Punktprobe mit $\vec{p}$ in $h$: liegt $P \in h$, sind $g$ und $h$ IDENTISCH; liegt $P \notin h$, sind sie ECHT PARALLEL. NEIN ($\vec{u}, \vec{v}$ nicht kollinear) $\implies$ Gleichsetzen $\vec{p} + r\vec{u} = \vec{q} + s\vec{v}$ (LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten): gibt es eine eindeutige Lösung $(r, s)$, die alle 3 Gleichungen erfüllt, SCHNEIDEN sich $g$ und $h$ im Schnittpunkt $S$; ist das LGS widersprüchlich, sind $g$ und $h$ WINDSCHIEF! |  |  |
| 3 | Mathematik Abitur (Analysis — Funktionenscharen und Ortskurven): Wie bestimmt man die Ortskurve der Extrempunkte einer Funktionenschar $f_a(x)$? | Drei-Schritte-Verfahren für die Ortskurve der Extrempunkte $E_a(x_E(a) \| y_E(a))$: 1) Berechne die Koordinaten des Extrempunkts in Abhängigkeit vom Scharparameter $a$: $x = x_E(a)$ und $y = y_E(a)$; 2) Löse die Gleichung $x = x_E(a)$ nach dem Parameter $a$ auf: $a = g(x)$; 3) Setze diesen Ausdruck für $a$ in die $y$-Koordinate $y = y_E(a)$ ein $\implies$ du erhältst die Funktionsgleichung der Ortskurve $y_{\text{Orts}}(x)$ ohne Parameter $a$. Gemeinsame Punkte aller Scharkurven (Fixpunkte) findet man durch Gleichsetzen $f_a(x) = f_b(x)$ für $a \ne b$. |  |  |
| 4 | Physik Abitur (Spezielle Relativitätstheorie — Zeitdilatation, Längenkontraktion und relativistische Masse/Energie): Wie lautet der Lorentzfaktor $\gamma$ und welche Folgen hat die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit $c$? | Lorentzfaktor: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \ge 1$. 1) Zeitdilatation („bewegte Uhren gehen langsamer“, z. B. Myonenzerfall in der Atmosphäre): $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$ (wobei $\Delta t_0$ die Eigenzeit im Ruhesystem der Uhr ist); 2) Längenkontraktion („bewegte Maßstäbe sind in Bewegungsrichtung verkürzt“): $l = \frac{l_0}{\gamma}$; 3) Relativistische Gesamtenergie und Ruheenergie: $E_{\text{ges}} = \gamma \cdot m_0 c^2 = E_0 + E_{\text{kin}} \implies E_{\text{kin}} = (\gamma - 1) \cdot m_0 c^2$ und Energie-Impuls-Beziehung $E_{\text{ges}}^2 = (p c)^2 + (m_0 c^2)^2$. |  |  |
| 5 | Physik Abitur (Quantenphysik — Äußerer Fotoeffekt, Plancksches Wirkungsquantum $h$ und Gegenfeldmethode): Warum widerlegt der äußere lichtelektrische Effekt (Hallwachs/Einstein) das klassische Wellenmodell des Lichts? | Befunde des Fotoeffekts, die nur im Photonenmodell ($E_{\text{Photon}} = h \cdot f = \frac{h \cdot c}{\lambda}$) erklärbar sind: 1) Die Ablösung von Elektronen erfolgt verzögerungsfrei auch bei geringster Lichtintensität; 2) Es existiert eine materialabhängige Grenzfrequenz $f_{\text{G}} = \frac{W_{\text{A}}}{h}$, unterhalb derer selbst bei höchster Intensität KEINE Elektronen ausgelöst werden; 3) Die maximale kinetische Energie der Fotoelektronen hängt linear nur von der Frequenz $f$ ab und NICHT von der Intensität (die Intensität bestimmt nur die Anzahl der Photonen pro Sekunde und damit den Fotostrom!). Einstein-Gleichung (Gegenfeldmethode mit Gegenspannung $U_{\text{G}}$): $E_{\text{kin, max}} = e \cdot U_{\text{G}} = h \cdot f - W_{\text{A}}$ (im $E_{\text{kin}}(f)$-Diagramm eine Gerade mit Steigung $h \approx 6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$, $y$-Achsenabschnitt $-W_{\text{A}}$ und Nullstelle $f_{\text{G}}$). |  |  |
| 6 | Physik Abitur (Elektrodynamik — Magnetfeld, Lorentzkraft, Fadenstrahlrohr, Wien-Filter und Hall-Effekt): Wie berechnet man die spezifische Elektronenladung $\frac{e}{m_e}$ im Fadenstrahlrohr, die Filtergeschwindigkeit im Wien-Filter und die Hall-Spannung $U_{\text{H}}$? | Lorentzkraft auf bewegte Ladung $q$ im Magnetfeld $B$: $F_{\text{L}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin(\alpha)$ (Drei-Finger-Regel der linken Hand für Elektronen, der rechten Hand für positive Ladungen). Im Fadenstrahlrohr ($\vec{v} \perp \vec{B}$) wirkt $F_{\text{L}}$ als Zentripetalkraft $F_{\text{Z}}$: $e v B = \frac{m_e v^2}{r} \implies r = \frac{m_e v}{e B}$; Einsetzen von $v = \sqrt{\frac{2eU_{\text{B}}}{m_e}}$ liefert $\frac{e}{m_e} = \frac{2 U_{\text{B}}}{B^2 r^2}$ (Magnetfeld der Helmholtz-Spulen). Geschwindigkeitsfilter nach Wien (gekreuztes $\vec{E}$- und $\vec{B}$-Feld): Kräftegleichgewicht $F_{\text{el}} = F_{\text{L}} \iff q E = q v B \implies v = \frac{E}{B}$. Hall-Effekt an einem Leiterplättchen der Dicke $d$ bei Stromstärke $I$: $U_{\text{H}} = B \cdot v_{\text{D}} \cdot b = A_{\text{H}} \frac{I \cdot B}{d}$ mit Hall-Konstante $A_{\text{H}} = \frac{1}{n \cdot e}$. |  |  |
| 7 | Mathematik Abitur (Analysis — Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen): Nach welchem 5-Schritte-Schema löst man geometrische Optimierungsprobleme (z. B. maximales Rechteck unter einem Funktionsgraphen)? | 1) Hauptbedingung aufstellen: Formel für die Größe, die maximal oder minimal werden soll (z. B. Flächeninhalt $A(u, v) = u \cdot v$); 2) Nebenbedingung nutzen: Zusammenhang zwischen den Variablen aus der Aufgabenstellung (z. B. Punkt $P(u \| f(u))$ liegt auf dem Graphen $\implies v = f(u)$); 3) Zielfunktion einer einzigen Variablen bilden und Definitionsbereich $D$ (Randwerte!) angeben: $A(u) = u \cdot f(u)$; 4) Lokales Extremum über $A'(u) = 0$ und $A''(u) \lessgtr 0$ bestimmen; 5) Randwerte des Definitionsbereichs prüfen, damit das lokale auch das globale Extremum ist. |  |  |
| 8 | Physik Abitur (Elektromagnetische Induktion, Lenzsche Regel und Schwingkreis): Wie lautet das allgemeine Induktionsgesetz $\mathcal{U}_{\text{ind}}(t)$, die Selbstinduktionsspannung einer Spule und die Thomsonsche Schwingungsgleichung? | Magnetischer Fluss: $\Phi = B \cdot A_{\perp} = B \cdot A \cdot \cos(\varphi)$. Allgemeines Induktionsgesetz (Faraday) für eine Spule mit $N$ Windungen: $U_{\text{ind}}(t) = -N \cdot \dot{\Phi}(t) = -N \cdot \left(\dot{B}(t) \cdot A(t) + B(t) \cdot \dot{A}(t)\right)$. Lenzsche Regel (Minuszeichen): Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt (Energieerhaltung!). Selbstinduktion einer Spule mit Induktivität $L = \mu_0 \mu_r \frac{N^2 A}{l}$: $U_{\text{ind}} = -L \cdot \dot{I}(t)$; magnetische Feldenergie $W_{\text{mag}} = \frac{1}{2} L I^2$. Ungedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis (Spule $L$ + Kondensator $C$): Periodendauer $T = 2\pi \sqrt{L \cdot C}$, Eigenfrequenz $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, maximaler Strom $\hat{I} = \omega \cdot \hat{Q} = \omega C \hat{U}$ (aus $\frac{1}{2}C\hat{U}^2 = \frac{1}{2}L\hat{I}^2$). |  |  |
| 9 | Mathematik Abitur (Analysis — Tangenten, Normalen und Schnittwinkel): Wie stellt man die Tangentengleichung $t(x)$ und die Normalengleichung $n(x)$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(x_0 \| f(x_0))$ auf? | Tangente im Punkt $P(x_0 \| f(x_0))$ hat die Steigung $m_t = f'(x_0)$: $t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$. Normale steht senkrecht auf der Tangente, hat also die Steigung $m_n = -\frac{1}{f'(x_0)}$ (wegen $m_t \cdot m_n = -1$): $n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0)$. Steigungswinkel $\alpha$: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$. Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt $W(x_W \| f(x_W))$. |  |  |
| 10 | Mathematik Abitur (Stochastik — Sigma-Regeln, Normalverteilung und Hypothesentests): Wie lauten die drei $\sigma$-Regeln und was unterscheidet den Fehler 1. Art ($\alpha$-Fehler) vom Fehler 2. Art ($\beta$-Fehler) beim Signifikanztest? | Sigma-Regeln um den Erwartungswert $\mu$ (für $\sigma > 3$): $P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) \approx 68{,}3\%$; $P(\mu - 1{,}96\sigma \le X \le \mu + 1{,}96\sigma) \approx 95{,}0\%$ ($2\sigma \approx 95{,}4\%$); $P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\%$. Gaußsche Glockenkurve (stetige Normalverteilung): Maximum bei $x = \mu$, Wendestellen bei $x = \mu \pm \sigma$. Hypothesentest mit Nullhypothese $H_0$ und Gegenhypothese $H_1$: Fehler 1. Art ($\alpha$-Fehler / Signifikanzniveau): Die wahre Nullhypothese $H_0$ wird irrtümlich verworfen ($P_{H_0}(X \in \bar{A}) \le \alpha$, meist $\alpha = 5\%$). Fehler 2. Art ($\beta$-Fehler): Die falsche Nullhypothese $H_0$ wird irrtümlich beibehalten, obwohl in Wahrheit $H_1$ gilt. |  |  |
| 11 | Mathematik Abitur (Lineare Algebra — Übergangsmatrizen / Stochastische Matrizen und Fixvektor): Welche Eigenschaften hat eine stochastische Übergangsmatrix $M$ und wie berechnet man die langfristige stationäre Verteilung $\vec{v}$? | Eine quadratische Matrix $M$ heißt (spalten-)stochastisch, wenn alle Einträge $0 \le m_{ij} \le 1$ sind und jede SPALTENSUMME genau $1$ ergibt. Zustandsvektor nach $k$ Zeitschritten: $\vec{v}_k = M^k \cdot \vec{v}_0$. Eine stabile Grenzverteilung (Fixvektor / stationäre Verteilung $\vec{v}$) erfüllt die Gleichung $M \cdot \vec{v} = \vec{v} \iff (M - E) \cdot \vec{v} = \vec{0}$ zusammen mit der Normierungsbedingung $v_1 + v_2 + v_3 = 1$ (für Populationsmatrizen nach Leslie gilt dagegen keine Spaltensumme 1; zyklische Entwicklung bei $M^k = E$). |  |  |
| 12 | Mathematik Abitur (Analysis — Symmetrie, Grenzwerte und Asymptoten): Wie prüft man Achsensymmetrie zur $y$-Achse, Punktsymmetrie zum Ursprung und das Verhalten von $f(x) = P(x) \cdot e^{-kx}$ für $x \to \pm\infty$? | Achsensymmetrie zur $y$-Achse: $f(-x) = f(x)$ (bei ganzrationalen Funktionen: nur gerade Exponenten von $x$). Punktsymmetrie zum Ursprung $(0\|0)$: $f(-x) = -f(x)$ (nur ungerade Exponenten von $x$, kein absolutes Glied). Grenzwertsatz für $e$-Funktionen: „Die $e$-Funktion gewinnt immer gegen jede Potenzfunktion!“ Für $k > 0$ gilt $\lim_{x \to +\infty} x^n \cdot e^{-kx} = 0$ (waagerechte Asymptote $y = 0$), weil $e^{-kx} \to 0$ schneller fällt als $x^n$ wächst. |  |  |
| 13 | Physik Abitur (Quantenphysik | De-Broglie-Wellenlänge von Teilchen mit Impuls $p = m \cdot v$ (Welle-Teilchen-Dualismus der Materie, nachgewiesen durch Elektronenbeugung an polykristallinem Graphit | De-Broglie-Wellenlänge, Elektronenbeugung, Unschärferelation und Potenzialtopf): Wie lauten die De-Broglie-Beziehung für Materiewellen, die Heisenbergsche Unschärferelation und die Energieniveaus im eindimensionalen Potenzialtopf? — Debye-Scherrer-Ringe): $\lambda_{\text{dB}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v} = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e U_{\text{B}}}}$. Heisenbergsche Ort-Impuls-Unschärferelation: $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{h}{4\pi}$ (Ort und Impuls eines Quantenobjekts sind nicht gleichzeitig beliebig scharf definiert). Eindimensionaler unendlich hoher Potenzialtopf der Länge $L$ (stehende Materiewelle $L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2}$ mit Quantenzahl $n = 1, 2, 3, \dots$): Diskrete Energieniveaus $E_n = \frac{h^2}{8 m L^2} \cdot n^2 = E_1 \cdot n^2$ (Nullpunktsenergie $E_1 > 0$, Energiequantisierung!). |  |
| 14 | Mathematik Abitur (Analytische Geometrie — Besondere Vierecke und Dreiecke im Raum nachweisen): Welche Vektorbedingungen prüfen Sie für ein Parallelogramm, eine Raute (Rhombus), ein Rechteck, ein Quadrat und ein Trapez? | Im Viereck $ABCD$: 1) Parallelogramm: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (gegenüberliegende Seitenvektoren sind gleich!); 2) Raute (Rhombus): Parallelogramm ($\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$) UND zwei benachbarte Seiten sind gleich lang ($\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{BC}\|$, zudem stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander: $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$); 3) Rechteck: Parallelogramm UND rechter Innenwinkel ($\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$); 4) Quadrat: Rechteck UND Raute ($\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \land \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \land \|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{BC}\|$); 5) Trapez: Mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel ($\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{DC}$ mit $k \ne 0$). |  |  |
| 15 | Mathematik Abitur (Analytische Geometrie — Darstellungsformen von Ebenen im $\mathbb{R}^3$): Wie lauten Parameterform, Normalenform und Koordinatenform einer Ebene $E$ und wie wandelt man sie ineinander um? | 1) Parameterform: $E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ ($\vec{p}$ Stützvektor, $\vec{u}, \vec{v}$ linear unabhängige Spannvektoren). 2) Normalenform: $E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ mit Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$. 3) Koordinatenform: $E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d$, wobei $d = \vec{p} \cdot \vec{n}$. Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den drei Koordinatenachsen: $S_1\left(\frac{d}{n_1}\middle\|0\middle\|0\right),\ S_2\left(0\middle\|\frac{d}{n_2}\middle\|0\right),\ S_3\left(0\middle\|0\middle\|\frac{d}{n_3}\right)$. |  |  |
| 16 | Mathematik Abitur (Stochastik — Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel und Stochastische Unabhängigkeit): Wann heißen zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig und wie lautet der Satz von Bayes? | Bedingte Wahrscheinlichkeit („Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ bereits eingetreten ist“): $P_B(A) = P(A\|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: $P(B) = P(A)\cdot P_A(B) + P(\bar{A})\cdot P_{\bar{A}}(B)$; Satz von Bayes (Umkehrung des Baumdiagramms, z. B. bei medizinischen Tests: Sensitivität/Spezifität $\to$ positiver Vorhersagewert): $P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)}$. Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann STOCHASTISCH UNABHÄNGIG, wenn gilt: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (bzw. $P_B(A) = P(A)$). |  |  |
| 17 | Mathematik Abitur (Analysis — Exponentielles und beschränktes Wachstum): Wie lauten Funktionsgleichung und Differentialgleichung für exponentielles Wachstum und beschränktes Wachstum (Sättigungsgrenze $S$)? | Exponentielles Wachstum / Zerfall: $N(t) = N_0 \cdot e^{k t}$ mit Differentialgleichung $N'(t) = k \cdot N(t)$. Verdopplungszeit (für $k > 0$): $T_2 = \frac{\ln(2)}{k}$; Halbwertszeit (für $k < 0$): $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\|k\|}$. Beschränktes Wachstum (z. B. Abkühlung/Erwärmung auf Umgebungstemperatur $S$ oder Medikamentenkonzentration): $N(t) = S - (S - N_0) \cdot e^{-k t}$ ($k > 0$) mit $\lim_{t \to \infty} N(t) = S$ und Differentialgleichung $N'(t) = k \cdot (S - N(t))$ (die Änderungsrate ist proportional zum Sättigungsdefizit $S - N(t)$). |  |  |
| 18 | Mathematik Abitur (Analysis — Vollständige Kurvendiskussion): Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen gelten für lokale Extrempunkte (Hoch-/Tiefpunkte), Wendepunkte und Sattelpunkte? | Lokale Extrempunkte: Notwendige Bedingung $f'(x_E) = 0$; hinreichende Bedingung: $f'(x_E) = 0 \land f''(x_E) < 0 \implies$ Hochpunkt (Maximum), $f''(x_E) > 0 \implies$ Tiefpunkt (Minimum) (oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ von $+$ nach $-$ bzw. $-$ nach $+$). Wendepunkte (stärkste Steigung/Gefälle, Wechsel zwischen Links- und Rechtskrümmung): Notwendig $f''(x_W) = 0$; hinreichend $f''(x_W) = 0 \land f'''(x_W) \ne 0$ (oder VZW von $f''(x)$). Sattelpunkt (Terrassenpunkt): Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also $f'(x_S) = 0 \land f''(x_S) = 0 \land f'''(x_S) \ne 0$. |  |  |
| 19 | Physik Abitur (Atom- und Kernphysik — Bohrsches Atommodell, Franck-Hertz-Versuch, Röntgenspektrum und Radioaktivität): Wie berechnet man das Wasserstoffspektrum, die kurzwellige Grenze $\lambda_{\min}$ der Röntgenbremsstrahlung und das Zerfallsgesetz? | Wasserstoffatom (Bohr / Balmer-Serie): Energieniveaus $E_n = -\frac{13{,}6\text{ eV}}{n^2}$ ($1\text{ eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\text{ J}$); beim Übergang von $n_2 \to n_1$ wird ein Photon der Energie $\Delta E = h f = \|E_{n_2} - E_{n_1}\|$ emittiert oder absorbiert (Franck-Hertz-Versuch an Quecksilberdampf bestätigt diskrete Anregungsstufen bei $4{,}9\text{ eV}$). Röntgenbremsstrahlung (Duane-Hunt-Gesetz: gesamte kinetische Energie eines Elektrons wird in einem Stoß in 1 Photon umgewandelt): $e \cdot U_{\text{B}} = h \cdot f_{\max} = \frac{h \cdot c}{\lambda_{\min}} \implies \lambda_{\min} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U_{\text{B}}}$. Radioaktives Zerfallsgesetz: $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ mit Zerfallskonstante $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$ und Aktivität $A(t) = -\dot{N}(t) = \lambda \cdot N(t)$ in Becquerel ($\text{Bq}$). |  |  |
| 20 | Physik Abitur (Elektrodynamik — Elektrisches Feld und Plattenkondensator): Wie lauten die Formeln für die elektrische Feldstärke $E$, Spannung $U$, Kapazität $C$, Energie $W_{\text{el}}$ und die Bewegung eines Elektrons im Querfeld (Braunsche Röhre)? | Im homogenen Feld eines Plattenkondensators (Plattenabstand $d$, Fläche $A$): $E = \frac{F_{\text{el}}}{q} = \frac{U}{d}$. Kapazität: $C = \frac{Q}{U} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}$. Elektrische Feldenergie: $W_{\text{el}} = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} Q U = \frac{Q^2}{2C}$. Beschleunigung eines Elektrons durch Beschleunigungsspannung $U_{\text{B}}$: $e \cdot U_{\text{B}} = \frac{1}{2} m_e v_x^2 \implies v_x = \sqrt{\frac{2 e U_{\text{B}}}{m_e}}$ (nichtrelativistisch). Im Ablenkkondensator (Länge $l$, Ablenkspannung $U_{\text{A}}$): gleichförmige Bewegung in $x$-Richtung ($t = \frac{l}{v_x}$) und gleichmäßig beschleunigte Bewegung in $y$-Richtung mit $a_y = \frac{e U_{\text{A}}}{m_e d} \implies$ Wurfparabel $y(x) = \frac{1}{2} a_y \left(\frac{x}{v_x}\right)^2 = \frac{U_{\text{A}}}{4 d U_{\text{B}}} x^2$. |  |  |
| 21 | Mathematik Abitur (Analytische Geometrie — Spiegelung von Punkten an Punkten, Geraden und Ebenen): Wie bestimmt man den Spiegelpunkt $P'$ eines Punktes $P$ am Symmetriezentrum $Z$ bzw. an einer Ebene $E$? | Punktspiegelung von $P$ an $Z$: $\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2 \cdot \overrightarrow{PZ} = 2\overrightarrow{OZ} - \overrightarrow{OP}$. Spiegelung von $P$ an einer Ebene $E$: 1) Stelle die Lotgerade $l: \vec{x} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec{n}_E$ durch $P$ mit dem Normalenvektor $\vec{n}_E$ der Ebene auf; 2) Berechne den Lotfußpunkt $L = l \cap E$ (Parameter $t_L$ bestimmen); 3) Verdopple den Parameter $t_L$: $\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2 t_L \cdot \vec{n}_E$ (oder $\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2 \overrightarrow{PL}$). |  |  |
| 22 | Mathematik Abitur (Analysis — Integralrechnung und Flächeninhalt): Wie berechnet man den gerichteten Integralwert (Bestandsänderung) vs. den geometrischen Flächeninhalt zwischen Graph und $x$-Achse bzw. zwischen zwei Graphen? | Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: $\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ mit $F'(x) = f(x)$. Das bestimmte Integral liefert die orientierte Flächenbilanz (Netto-Bestandsänderung, z. B. Wassermenge im Tank aus der Änderungsrate $f(t)$). Für den geometrischen Flächeninhalt $A$ zwischen $G_f$ und der $x$-Achse auf $[a; b]$ müssen zuerst die Nullstellen $x_N \in (a; b)$ bestimmt und Teilintegrale mit Betragsstrichen addiert werden: $A = \left\|\int_a^{x_N} f(x)\,dx\right\| + \left\|\int_{x_N}^b f(x)\,dx\right\|$. Zwischen zwei Graphen $f$ und $g$: Schnittstellen $f(x) = g(x)$ bestimmen und über $\|f(x) - g(x)\|$ integrieren. Mittelwert einer Funktion auf $[a; b]$: $\bar{m} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$; Rotationsvolumen um die $x$-Achse: $V = \pi \int_a^b (f(x))^2\,dx$. |  |  |
| 23 | Mathematik Abitur (Analysis — Stammfunktionen bilden): Wie lautet die Stammfunktion $F(x)$ zu $f(x) = x^n$, $f(x) = \frac{1}{x}$, $f(x) = e^{kx + b}$ und $f(x) = \sin(kx + b)$? | Potenzregel: $\int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (für $n \ne -1$, auch bei Wurzeln $\sqrt{x} = x^{1/2} \to \frac{2}{3}x^{3/2}$ und Brüchen $\frac{1}{x^2} = x^{-2} \to -x^{-1}$). Für $n = -1$: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln(\|x\|) + C$. Lineare Verkettung („eins durch innere Ableitung“): $\int e^{kx+b}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$; $\int \sin(kx+b)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$; $\int \cos(kx+b)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$. Nachweis einer gegebenen Stammfunktion $F(x)$ (z. B. $(ax+b)e^{-x}$) im Abitur immer durch Ableiten $F'(x) = f(x)$ führen! |  |  |
| 24 | Mathematik Abitur (Stochastik — Bernoulli-Kette und Binomialverteilung): Wie lauten die Formel von Bernoulli für $P(X = k)$ sowie Erwartungswert $\mu$, Varianz $V(X)$ und Standardabweichung $\sigma$ einer $B(n; p)$-verteilten Zufallsgröße? | Voraussetzungen eines Bernoulli-Experiments der Länge $n$: nur 2 Ausgänge (Treffer mit $p$, Niete mit $1-p$), die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bleibt bei jedem Zug konstant (Ziehen mit Zurücklegen) und die Versuche sind unabhängig. Formel von Bernoulli: $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$ mit $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Erwartungswert: $\mu = E(X) = n \cdot p$. Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ (Laplace-Bedingung: $\sigma > 3$). Kumulierte Wahrscheinlichkeiten im GTR/CAS: $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)$ und $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a - 1)$. |  |  |
| 25 | Physik Abitur (Mechanische & Elektromagnetische Wellen — Doppelspalt, Gitter und Bragg-Reflexion): Welche Bedingungen gelten für konstruktive und destruktive Interferenz am Doppelspalt und optischen Gitter? | Kohärentes Licht der Wellenlänge $\lambda$ trifft auf Doppelspalt bzw. Gitter mit Spaltabstand/Gitterkonstante $g$ (Schirmabstand $e$, Abstand des $k$-ten Maximums von der Mitte $d_k$, Ablenkwinkel $\alpha_k$ mit $\tan(\alpha_k) = \frac{d_k}{e}$): Konstruktive Interferenz ($k$-tes Hauptmaximum): Gangunterschied $\Delta s = k \cdot \lambda \implies g \cdot \sin(\alpha_k) = k \cdot \lambda$ ($k = 0, 1, 2, \dots$; für kleine Winkel $\alpha \ll 10^\circ$ gilt die Kleinwinkelnäherung $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \implies \lambda \approx \frac{g \cdot d_k}{k \cdot e}$). Destruktive Interferenz (Minimum am Doppelspalt): $\Delta s = \left(k - \frac{1}{2}\right)\lambda$. Am Einzelspalt der Breite $b$ liegen die Minima bei $b \cdot \sin(\alpha_k) = k \cdot \lambda$! Bragg-Bedingung für Röntgenbeugung an Kristallnetzebenenschar (Abstand $d$, Glanzwinkel $\vartheta$ zur Netzebene): $2 d \cdot \sin(\vartheta) = k \cdot \lambda$. |  |  |
| 26 | Mathematik Abitur (Analytische Geometrie — Schattenwurf und Lichtstrahlen): Wie berechnet man den Schattenpunkt $S'$ einer Pyramidenspitze $S$ auf dem Boden ($x_1 x_2$-Ebene) bei parallelem Sonnenlicht ($\vec{v}$) bzw. einer punktförmigen Lichtquelle $L$? | 1) Paralleles Sonnenlicht mit Lichtrichtungsvektor $\vec{v}$: Stelle die Lichtgerade durch die Spitze $S$ auf: $g: \vec{x} = \overrightarrow{OS} + t \cdot \vec{v}$; 2) Punktförmige Lichtquelle $L$: Stelle die Lichtgerade durch $L$ und $S$ auf: $g: \vec{x} = \overrightarrow{OL} + t \cdot \overrightarrow{LS}$; 3) Schneide die Lichtgerade $g$ mit der Projektionsebene (z. B. für die $x_1 x_2$-Ebene gilt $x_3 = 0$; löse die 3. Zeile nach $t$ auf und setze $t$ in $g$ ein $\implies$ Schattenpunkt $S'$). |  |  |
| 27 | Physik Abitur (Mechanische Schwingungen & Wellen — Harmonischer Oszillator und Dopplereffekt): Wie lauten die Zeit-Ort-, Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Gesetze einer harmonischen Schwingung $y(t)$? | Rückstellkraft $F(y) = -D \cdot y$ (lineares Kraftgesetz) führt auf die Differentialgleichung $\ddot{y}(t) = -\frac{D}{m} y(t) = -\omega^2 y(t)$ mit $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f = \sqrt{\frac{D}{m}}$. Lösung (Start im Nulldurchgang nach oben): Auslenkung (Elongation) $y(t) = \hat{y} \cdot \sin(\omega t)$; Geschwindigkeit $v(t) = \dot{y}(t) = \hat{y}\omega \cdot \cos(\omega t)$ mit $v_{\max} = \hat{y}\omega$ im Nulldurchgang; Beschleunigung $a(t) = \ddot{y}(t) = -\hat{y}\omega^2 \cdot \sin(\omega t) = -\omega^2 y(t)$ mit $a_{\max} = \hat{y}\omega^2$ in den Umkehrpunkten. Gesamtenergie: $E_{\text{ges}} = \frac{1}{2} D \hat{y}^2 = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$. Grundgleichung der Wellenlehre: Ausbreitungsgeschwindigkeit $c = \lambda \cdot f$. |  |  |
| 28 | Mathematik Abitur (Stochastik — Erwartungswert und Standardabweichung allgemeiner diskreter Zufallsgrößen & faire Spiele): Wann heißt ein Glücksspiel „fair“? | Für eine diskrete Zufallsgröße $X$ mit Werten $x_1, \dots, x_m$: Erwartungswert $E(X) = \mu = \sum_{i=1}^m x_i \cdot P(X = x_i)$; Varianz $V(X) = \sum_{i=1}^m (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$; Standardabweichung $\sigma = \sqrt{V(X)}$. Ein Glücksspiel heißt genau dann FAIR, wenn der Erwartungswert des Reingewinns $G$ (Auszahlung minus Einsatz) gleich Null ist: $E(G) = 0$ (bzw. wenn der Einsatz exakt gleich dem Erwartungswert der Auszahlung ist: $\text{Einsatz} = E(\text{Auszahlung})$). |  |  |
| 29 | Mathematik Abitur (Analytische Geometrie — Schnittwinkel und Abstandsformeln im $\mathbb{R}^3$): Wie berechnet man Schnittwinkel zwischen Gerade/Gerade, Ebene/Ebene und Gerade/Ebene sowie den Abstand Punkt–Ebene? | Schnittwinkel (immer $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ durch Betragsstriche im Zähler!): Gerade–Gerade ($ \vec{u}, \vec{v}$) und Ebene–Ebene ($\vec{n}_1, \vec{n}_2$): $\cos(\alpha) = \frac{\|\vec{a} \cdot \vec{b}\|}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$. ACHTUNG bei Gerade–Ebene (Richtungsvektor $\vec{u}$ und Normalenvektor $\vec{n}$): Hier wird der Sinus verwendet: $\sin(\alpha) = \frac{\|\vec{u} \cdot \vec{n}\|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{n}\|}$! Abstand eines Punktes $P(p_1\|p_2\|p_3)$ von einer Ebene $E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d$ (Hessesche Normalenform / Lotfußpunktverfahren): $d(P, E) = \frac{\|n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3 - d\|}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}}$. Abstand Punkt–Gerade über Hilfsebene $H \perp g$ durch $P$ oder $d(P, g) = \frac{\|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$. |  |  |
| 30 | Mathematik Abitur (Analysis — Ableitungsregeln): Wie lauten Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel sowie die Ableitungen von $e^{g(x)}$, $\ln(g(x))$, $\sin(x)$ und $\cos(x)$? | Produktregel: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. Quotientenregel: $\left(\frac{u}{x}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Kettenregel: $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$ („äußere Ableitung mal innere Ableitung“). Spezielle Funktionen: $\left(e^{g(x)}\right)' = g'(x) \cdot e^{g(x)}$; $\left(\ln(g(x))\right)' = \frac{g'(x)}{g(x)}$; Zyklus der Winkelfunktionen: $\sin(x) \to \cos(x) \to -\sin(x) \to -\cos(x) \to \sin(x)$. |  |  |
| 31 | Mathematik Abitur (Analysis — Steckbriefaufgaben / Rekonstruktion von Funktionen): Übersetzen Sie typische Textbedingungen in Gleichungen für eine ganzrationale Funktion $f(x)$. | 1) „geht durch $P(2\|5)$“ $\implies f(2) = 5$; 2) „hat bei $x = 3$ eine Nullstelle“ $\implies f(3) = 0$; 3) „berührt die $x$-Achse bei $x = 1$“ $\implies f(1) = 0 \land f'(1) = 0$ (doppelte Nullstelle!); 4) „hat im Punkt $H(2\|4)$ einen Hochpunkt“ $\implies f(2) = 4 \land f'(2) = 0$; 5) „hat im Punkt $W(1\|3)$ einen Wendepunkt mit der Steigung $-2$“ $\implies f(1) = 3 \land f''(1) = 0 \land f'(1) = -2$; 6) „hat einen Sattelpunkt in $S(2\|1)$“ $\implies f(2) = 1 \land f'(2) = 0 \land f''(2) = 0$. |  |  |
| 32 | Mathematik Abitur (Stochastik — „3-Mindestens-Aufgabe“ / Gesuchtes $n$): Wie bestimmt man die minimale Stichprobengröße $n$, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\%$ mindestens ein Treffer erzielt wird? | Ansatz über das Gegenereignis „kein einziger Treffer“ ($X = 0$): $P(X \ge 1) \ge 0{,}99 \iff 1 - P(X = 0) \ge 0{,}99 \iff 1 - (1 - p)^n \ge 0{,}99 \iff (1 - p)^n \le 0{,}01$. Logarithmieren mit $\ln$ (ACHTUNG: da $0 < 1 - p < 1$, ist $\ln(1 - p) < 0$, daher dreht sich beim Dividieren das Ungleichheitszeichen um!): $n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1 - p)}$ (immer auf die nächste ganze Zahl AUFRUNDEN!). |  |  |

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