# ЕГЭ и ОГЭ по профильной математике, физике и информатике (КЕГЭ): Производная, стереометрия, тригонометрия, параметры, законы механики/электродинамики, Python и графы

> Формулы профильной математики ЕГЭ (производная, первообразная, тригонометрия, логарифмы, стереометрия, планиметрия, параметры), законы физики (механика, МКТ, электродинамика, кванты) и алгоритмы КЕГЭ по информатике.

- **Canonical URL:** https://flashcards.world/flashcards/sets/71a700db-b611-4203-a3f6-6e9f209097d9/
- **Markdown URL:** https://flashcards.world/flashcards/sets/71a700db-b611-4203-a3f6-6e9f209097d9.md
- **Level:** intermediate
- **Languages:** ru → ru
- **Total Cards:** 32

## Flashcards (32 Cards)

| # | Front (Term / Prompt) | Back (Definition / Answer) | Example | Multiple-Choice Options |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1 | Профильная математика ЕГЭ (задание 13): запишите общие решения простейших тригонометрических уравнений $\sin x = a$, $\cos x = a$ ($\|a\| \le 1$) и $\tan x = a$. | $\sin x = a \iff x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ (или совокупность $x = \arcsin a + 2\pi n$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi n$); $\cos x = a \iff x = \pm \arccos a + 2\pi n$; $\tan x = a \iff x = \arctan a + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$. |  |  |
| 2 | Информатика КЕГЭ (задание 4 — условие Фано): сформулируйте прямое условие Фано для неравномерного двоичного кода. | Никакое кодовое слово не может быть началом (префиксом) другого кодового слова. Это гарантирует однозначное декодирование сообщения с начала. На двоичном дереве кодовые слова должны располагаться только в листьях (из занятой вершины нельзя продолжать ветвление). |  |  |
| 3 | Физика ЕГЭ (квантовая и ядерная физика): запишите уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и укажите, от чего зависит максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов и фототок насыщения. | $h\nu = \frac{hc}{\lambda} = A_{\text{вых}} + E_{k\max} = A_{\text{вых}} + e U_{\text{з}}$, где $U_{\text{з}}$ — задерживающее напряжение. $E_{k\max}$ и $U_{\text{з}}$ зависят ТОЛЬКО от частоты света $\nu$ и работы выхода $A_{\text{вых}}$ (не зависят от интенсивности света), а фототок насыщения прямо пропорционален интенсивности (числу фотонов в секунду). |  |  |
| 4 | Информатика КЕГЭ (задание 25 | Все делители числа $N$ ищутся перебором `d` от `1` до `int(N**0.5) + 1` за $O(\sqrt{N})$: если `N % d == 0`, добавляем `d` и `N // d` в `set`. Для проверки числовых масок (`?` | делители и маски чисел): за какую асимптотику находятся все делители числа $N$ и как использовать `fnmatch` в Python? — ровно 1 символ, `*` — любая последовательность от 0 символов) используют `from fnmatch import fnmatch` либо перебирают числа, кратные делителю $D$, шагом `range(start, limit, D)`. |  |
| 5 | Профильная математика ЕГЭ (теория чисел, задание 19): сформулируйте основную теорему арифметики, формулу суммы арифметической прогрессии и признаки делимости на 3, 4, 9 и 11. | Сумма $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Число делится на 3 (на 9), если сумма его цифр делится на 3 (на 9); на 4 — если двузначное число из двух последних цифр делится на 4; на 11 — если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11. |  |  |
| 6 | Профильная математика ЕГЭ (стереометрия, задания 3 и 14): запишите формулы объёма призмы, цилиндра, пирамиды, конуса и шара, а также площади сферы. | $V_{\text{призмы/цил}} = S_{\text{осн}} \cdot H$; $V_{\text{пирам/конуса}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$; $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$; площадь сферы $S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$. При увеличении всех линейных размеров тела в $k$ раз площадь поверхности растёт в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз. |  |  |
| 7 | Профильная математика ЕГЭ (логарифмические неравенства, задание 15): сформулируйте метод рационализации для неравенства $\log_{h(x)} f(x) \ge \log_{h(x)} g(x)$ и укажите ОДЗ. | На ОДЗ ($f(x) > 0,\ g(x) > 0,\ h(x) > 0,\ h(x) \ne 1$) неравенство равносильно произведению $(h(x) - 1)(f(x) - g(x)) \ge 0$. Это позволяет не разбирать отдельно случаи основания $0 < h(x) < 1$ и $h(x) > 1$. |  |  |
| 8 | Физика ЕГЭ (колебания и оптика): запишите формулу Томсона для периода колебательного контура, формулу тонкой линзы и условие дифракционных максимумов решётки. | Формула Томсона: $T = 2\pi \sqrt{LC}$. Формула тонкой линзы: $\pm \frac{1}{F} = \frac{1}{d} \pm \frac{1}{f} = D$ (увеличение $\Gamma = \frac{f}{d}$). Условие главных максимумов дифракционной решётки: $d \sin \varphi = k \lambda$, где $d$ — период решётки, $k \in \mathbb{Z}$. |  |  |
| 9 | Информатика КЕГЭ (задание 27 — частичные суммы и остатки): какой приём позволяет заменить полный перебор пар/подотрезков $O(N^2)$ на линейный алгоритм $O(N)$? | Метод префиксных сумм и хранения минимальных/максимальных префиксов по каждому остатку от деления на $K$ (массив `min_pref[r]` размера $K$). Сумма на подотрезке $(l, r]$ делится на $K$ тогда и только тогда, когда префиксные суммы $S_r$ и $S_l$ имеют одинаковый остаток по модулю $K$ ($S_r \equiv S_l \pmod K$). |  |  |
| 10 | Информатика КЕГЭ (задание 24 — обработка символьных строк): какой алгоритм за $O(N)$ находит максимальную подстроку, содержащую не более $K$ символов `'A'`? | Метод двух указателей (скользящее окно `left`, `right`): двигаем правый указатель `right`, увеличивая счётчик `'A'`; пока счётчик $> K$, сдвигаем `left += 1`, уменьшая счётчик; на каждом шаге обновляем `ans = max(ans, right - left + 1)`. |  |  |
| 11 | Профильная математика ЕГЭ (тригонометрия, задание 13): запишите формулы синуса и косинуса двойного аргумента $\sin 2x$ и $\cos 2x$, а также формулы приведения. | $\sin 2x = 2\sin x \cos x$; $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$. Правило формул приведения: при $\pi k$ название функции сохраняется, при $\frac{\pi}{2} + \pi k$ меняется на кофункцию; знак определяется по знаку исходной функции в соответствующей четверти. |  |  |
| 12 | Профильная математика ЕГЭ (планиметрия, задание 17): сформулируйте теорему синусов и теорему косинусов для произвольного треугольника. | Теорема синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Теорема косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$. |  |  |
| 13 | Информатика КЕГЭ (задание 7 | Изображение: $I = M \times N \times i$, где $M \times N$ | кодирование звука и изображений): по каким формулам вычисляется информационный объём растрового изображения и звукового файла? — разрешение в пикселях, $i$ — глубина цвета в битах ($N_{\text{цветов}} \le 2^i$). Звук: $I = f \times i \times t \times k$, где $f$ — частота дискретизации (Гц), $i$ — глубина кодирования звука (бит), $t$ — время (с), $k$ — число каналов (моно = 1, стерео = 2, квадро = 4). |  |
| 14 | Профильная математика ЕГЭ (задание 8 и 12): как по знаку производной $f'(x)$ определить промежутки возрастания/убывания и точки максимума/минимума функции $f(x)$? | Где $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает; где $f'(x) < 0$, функция убывает. Точка $x_0$, в которой $f'(x_0) = 0$ и производная меняет знак с «+» на «−», является точкой максимума; если знак меняется с «−» на «+» — точкой минимума. |  |  |
| 15 | Физика ЕГЭ (МКТ и термодинамика): запишите уравнение Менделеева — Клапейрона, первое начало термодинамики и его вид для изопроцессов (изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного). | $pV = \nu RT = \frac{m}{M}RT$. Первое начало термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где для одноатомного идеального газа $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$. При $V = \text{const}$ (изохорный): $A = 0,\ Q = \Delta U$. При $p = \text{const}$ (изобарный): $A = p\Delta V = \nu R\Delta T,\ Q = \frac{5}{2}\nu R\Delta T$. При $T = \text{const}$ (изотермический): $\Delta U = 0,\ Q = A$. При адиабатном ($Q = 0$): $A = -\Delta U$. |  |  |
| 16 | Информатика КЕГЭ (задание 23 — динамическое программирование исполнителя): как модифицировать рекурсивную функцию `f(curr, end)`, если траектория обязательно содержит число `A` и не содержит число `B`? | В функции `f(x, y)`: если `x > y` или `x == B`, вернуть `0`; если `x == y`, вернуть `1`; иначе вернуть сумму вызовов по всем командам. Если нужно обязательно пройти через `A`, ответ равен произведению `f(start, A) * f(A, finish)`. |  |  |
| 17 | Информатика КЕГЭ (задания 19–21 | $W_1$ | теория игр с камнями): как аналитически или на Python определить выигрышную ($W_1, W_2$) и проигрышную ($L_1, L_2$) позицию? — позиция, из которой существует хотя бы один ход (`any`) в терминальную позицию победы. $L_1$ (Ваня выигрывает 1-м ходом при любой игре Пети) — все ходы (`all`) из позиции ведут в $W_1$. $W_2$ (Петя выигрывает 2-м ходом) — не $W_1$, но существует ход (`any`) в $L_1$. $L_2$ — все ходы (`all`) ведут в $W_1$ или $W_2$, и хотя бы один — в $W_2$. |  |
| 18 | Физика ЕГЭ (механика): сформулируйте три закона Ньютона, закон всемирного тяготения и формулу центростремительного ускорения. | I закон: существуют инерциальные системы отсчёта (ИСО), в которых при $\sum \vec{F} = 0$ тело покоится или движется равномерно прямолинейно. II закон: $\vec{F}_{\text{рез}} = m\vec{a}$ (или $\vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$). III закон: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$. Тяготение: $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$. Центростремительное ускорение: $a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$. |  |  |
| 19 | Физика ЕГЭ (магнетизм и электромагнитная индукция): запишите силу Ампера, силу Лоренца, закон электромагнитной индукции Фарадея и энергию магнитного поля катушки. | Сила Ампера: $F_{\text{А}} = B I l \sin \alpha$ (правило левой руки). Сила Лоренца: $F_{\text{Л}} = \|q\| v B \sin \alpha$ (радиус ларморовской окружности $R = \frac{mv}{\|q\|B}$). Закон Фарадея: $\mathcal{E}_i = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$, ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si} = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}$. Энергия катушки: $W_{\text{м}} = \frac{LI^2}{2}$. |  |  |
| 20 | Информатика КЕГЭ (задание 2 — алгебра логики): когда импликация $A \to B$ и эквивалентность $A \equiv B$ принимают значение ЛОЖЬ (0)? | Импликация $A \to B$ (в Python: `A <= B`) ложна ТОЛЬКО в одном случае: когда из истины следует ложь ($A = 1,\ B = 0$). Эквивалентность $A \equiv B$ (в Python: `A == B`) ложна, когда значения переменных различны ($A \ne B$). Законы де Моргана: $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$; $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$. |  |  |
| 21 | Физика ЕГЭ (электростатика и постоянный ток): запишите формулы электроёмкости плоского конденсатора, энергии конденсатора, закона Ома для полной цепи и закона Джоуля — Ленца. | Ёмкость плоского конденсатора: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} = \frac{q}{U}$. Энергия конденсатора: $W = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} = \frac{qU}{2}$. Закон Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$. Закон Джоуля — Ленца: $Q = I^2 R t = \frac{U^2}{R}t = IUt$. |  |  |
| 22 | Профильная математика ЕГЭ (теория вероятностей, задания 4 и 5): запишите формулы вероятности суммы несовместных и совместных событий, а также произведения независимых событий. | Для несовместных событий: $P(A + B) = P(A) + P(B)$. Для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Для независимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Условная вероятность: $P(A\|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. |  |  |
| 23 | Информатика КЕГЭ (задание 16 — рекурсия в Python): как обойти ошибку `RecursionError` и ускорить вычисление рекурсивной функции с большими аргументами? | 1) Увеличить глубину стека: `import sys; sys.setrecursionlimit(100000)`. 2) Использовать декоратор мемоизации `from functools import lru_cache; @lru_cache(None)` или заполнить кэш снизу вверх циклом `for n in range(...)`. |  |  |
| 24 | Профильная математика ЕГЭ (параметры, задание 18): каково уравнение окружности на плоскости $(x; y)$ и условие касания прямой $Ax + By + C = 0$ и окружности? | Уравнение окружности с центром $(x_0; y_0)$ и радиусом $R > 0$: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d = \frac{\|Ax_0 + By_0 + C\|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = R$. |  |  |
| 25 | Физика ЕГЭ (законы сохранения в механике): в чём разница между абсолютно упругим и абсолютно неупругим ударом по сохранению импульса и механической энергии? | Закон сохранения импульса $\sum m_i \vec{v}_i = \text{const}$ выполняется в замкнутой системе при обоих видах удара. При абсолютно упругом ударе сохраняется и механическая (кинетическая) энергия; при абсолютно неупругом ударе тела слипаются и часть кинетической энергии переходит во внутреннюю тепловую энергию ($Q = E_{k1} - E_{k2}$). |  |  |
| 26 | Профильная математика ЕГЭ (финансовая математика, задание 16): чем схема аннуитетных платежей по кредиту отличается от схемы дифференцированных платежей (схемы с равномерным уменьшением долга)? | При аннуитетной схеме все ежегодные выплаты $X$ равны между собой, а долг уменьшается неравномерно: $((S \cdot k - X)k - X)\dots = 0$, где $k = 1 + \frac{r}{100}$. При дифференцированной схеме основной долг $S$ каждый месяц/год уменьшается на одну и ту же величину $\frac{S}{n}$, а начисленные проценты образуют убывающую арифметическую прогрессию; общая переплата равна $\frac{S \cdot r}{100} \cdot \frac{n+1}{2}$. |  |  |
| 27 | Физика ЕГЭ (термодинамика): по какой формуле вычисляется КПД идеальной тепловой машины (цикла Карно)? | $\eta_{\text{Карно}} = \frac{T_{\text{н}} - T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}} = 1 - \frac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}$, где $T_{\text{н}}$ и $T_{\text{х}}$ — абсолютные температуры нагревателя и холодильника в Кельвинах ($T(\text{К}) = t(^\circ\text{C}) + 273$). Для любого цикла $\eta = \frac{Q_{\text{н}} - \|Q_{\text{х}}\|}{Q_{\text{н}}} = \frac{A_{\text{цикла}}}{Q_{\text{н}}}$. |  |  |
| 28 | Профильная математика ЕГЭ (стереометрия, задание 14): сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорему о трёх перпендикулярах (ТТП). | Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. ТТП: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её ортогональной проекции на эту плоскость. |  |  |
| 29 | Профильная математика ЕГЭ (задание 8): в чём состоят геометрический и физический смысл производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$? | Геометрический смысл: $f'(x_0) = k = \tan \alpha$ — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ (уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$). Физический смысл: первая производная координаты по времени $x'(t) = v(t)$ — мгновенная скорость, вторая производная $x''(t) = v'(t) = a(t)$ — ускорение. |  |  |
| 30 | Информатика КЕГЭ (задание 13 | Адрес сети = поразрядная конъюнкция `IP & Mask` (в Python модуль `ipaddress.ip_network(f'{ip}/{mask}', strict=False)`). Если в двоичной записи маски $k$ нулей в конце, то общее число адресов в подсети равно $2^k$, из них первый (все 0 в узловой части) | IP-сети и маски): как по IP-адресу узла и маске подсети найти адрес сети, широковещательный адрес и количество допустимых адресов узлов? — адрес сети, последний (все 1) — широковещательный (broadcast), а число адресов для хостов равно $2^k - 2$. |  |
| 31 | Информатика КЕГЭ (задание 14 | Из $p$-ичной ($p \le 36$) в 10-ю: `int(s, p)`. Из 10-й в $p$-ичную | системы счисления в Python): как перевести число из 10-й системы в $p$-ичную ($p > 10$) и обратно из $p$-ичной в 10-ю в Python? — циклом `while n > 0: digits.append(n % p); n //= p` с разворотом `digits[::-1]`. Количество цифр $d$ в $p$-ичной записи числа $p^k - p^m$ ($k > m$) равно $k - m$ цифр $(p - 1)$ и $m$ нулей. |  |
| 32 | Информатика КЕГЭ (задание 11 — пароли и идентификаторы): как правильно округлять биты и байты при вычислении объёма памяти на один объект? | Мощность алфавита $N \implies$ глубина кодирования одного символа $i = \lceil \log_2 N \rceil$ бит (округление ВСЕГДА вверх до целого). Объём идентификатора из $L$ символов в байтах: $V = \lceil \frac{L \cdot i}{8} \rceil$ байт (также округление вверх до целого числа байт). |  |  |

---
Study this deck interactively with FSRS-6 spaced repetition, audio review, and multiple-choice mode at [Flashcards World](https://flashcards.world/flashcards/sets/71a700db-b611-4203-a3f6-6e9f209097d9/).