# ICFES Saber 11° y Examen UNAL — Matemáticas y Razonamiento Cuantitativo: Estadística, Probabilidad, Geometría, Funciones y Análisis de Gráficas

> Cubre las 3 competencias de Matemáticas y Razonamiento Cuantitativo (ICFES Saber 11° y Saber Pro) y el componente de Matemáticas del examen UNAL: interpretación y representación de datos, formulación y ejecución, argumentación, combinatoria, probabilidad, geometría métrica/analítica, trigonometría y funciones.

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## Flashcards (32 Cards)

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| 1 | ¿Cuáles son las fórmulas de volumen de un Prisma, un Cilindro, una Pirámide, un Cono y una Esfera, y qué relación hay entre un cilindro y un cono de igual base y altura? | Prisma o Cilindro: V = Área_base × h (para el cilindro, V = π·r²·h). Pirámide o Cono: V = (1/3) × Área_base × h (para el cono, V = (1/3)·π·r²·h). Esfera: V = (4/3)·π·r³ y Área superficial = 4·π·r². Por lo tanto, el volumen de un cono (o pirámide) es exactamente la TERCERA PARTE (1/3) del volumen de un cilindro (o prisma) que tenga su misma base y su misma altura. |  |  |
| 2 | En técnicas de conteo del ICFES y la UNAL, ¿cómo se decide rápidamente si un problema es una Permutación, una Variación o una Combinación? | 1. ¿Importa el orden de los elementos seleccionados? (ej. cargos de presidente/tesorero, claves numéricas, podios 1°-2°-3°): SÍ importa el orden → es una Permutación o Variación: sin repetición V(n, r) = n! / (n - r)!; con repetición nʳ; si se usan todos los n elementos P(n) = n! (y en círculo (n - 1)!). 2. ¿NO importa el orden? (ej. formar un comité o equipo de 3 personas, elegir 2 sabores de helado, estrecharse la mano): NO importa el orden → es una Combinación: C(n, r) = n! / [r! · (n - r)!]. |  |  |
| 3 | En un Sistema de Ecuaciones Lineales 2×2 (a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂), ¿cuándo el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna solución? | Geométricamente representan dos rectas en el plano: 1. Solución única (sistema compatible determinado): las rectas tienen diferente pendiente y se cortan en un único punto (a₁/a₂ ≠ b₁/b₂). 2. Ninguna solución (sistema incompatible): las rectas son paralelas distintas con igual pendiente pero diferente intercepto (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂). 3. Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado): ambas ecuaciones son múltiplos exactos y representan la misma recta coincidente (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂). |  |  |
| 4 | ¿Qué diferencia hay entre el Perímetro y el Área de figuras compuestas cuando se recorta una esquina rectangular de una lámina cuadrada? | Al recortar una esquina rectangular de una lámina cuadrada, el ÁREA disminuye (se resta el área del rectángulo recortado), pero el PERÍMETRO permanece exactamente IGUAL al del cuadrado original, porque los dos nuevos segmentos internos que aparecen miden exactamente lo mismo que los dos segmentos exteriores eliminados (en cambio, si el recorte se hace en la mitad de un lado formando una muesca en U, el perímetro aumenta). |  |  |
| 5 | En Probabilidad (ICFES y UNAL), ¿cómo se calcula la probabilidad de la unión de dos eventos P(A ∪ B) y la probabilidad condicional P(A \| B) a partir de una tabla de contingencia? | Regla de la adición: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (si A y B son mutuamente excluyentes, P(A ∩ B) = 0). Para eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). En una tabla de contingencia de doble entrada, la probabilidad condicional P(A \| B) ('probabilidad de A dado que pertenece al grupo B') tiene como denominador ÚNICAMENTE el total de la fila o columna del evento condicionante B: P(A \| B) = (Casos en la celda A ∩ B) / (Total del grupo B), nunca el total general de la tabla. |  |  |
| 6 | En el examen de la Universidad Nacional (UNAL), ¿cómo se racionaliza una expresión con radicales en el denominador como 6 / (√5 - √2)? | Se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es (√5 + √2), para aplicar diferencia de cuadrados (a - b)(a + b) = a² - b²: [6(√5 + √2)] / [(√5)² - (√2)²] = [6(√5 + √2)] / (5 - 2) = [6(√5 + √2)] / 3 = 2(√5 + √2). |  |  |
| 7 | ¿Cómo se resuelve un problema de Regla de Tres Compuesta (Directa e Inversa) en Razonamiento Cuantitativo? | Dos magnitudes son Directamente Proporcionales si su cociente es constante (A/B = k; al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción, ej. obreros vs. obra producida). Son Inversamente Proporcionales si su producto es constante (A · B = k; al aumentar una, disminuye la otra, ej. número de obreros vs. días para terminar la misma obra, o velocidad vs. tiempo). En regla de tres compuesta: (Obreros × Días × Horas/día) / Obra = constante. |  |  |
| 8 | En Geometría Analítica de la UNAL, ¿cómo se calcula el punto medio y la distancia entre dos puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂)? | Punto Medio: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Distancia euclidiana (por el Teorema de Pitágoras): d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]. La pendiente de la recta que pasa por ambos puntos es m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). |  |  |
| 9 | En las preguntas de 'Argumentación' del ICFES ('El procedimiento del estudiante es incorrecto porque en el Paso X...'), ¿cuáles son los 4 errores algebraicos más evaluados? | 1. Distribuir mal un exponente en una suma: escribir (a + b)² = a² + b² olvidando el doble producto 2ab (o √(a² + b²) = a + b). 2. No invertir el sentido de una desigualdad al multiplicar o dividir ambos miembros por un número NEGATIVO (ej. -2x < 6 ⇒ x > -3). 3. Dividir entre una variable que puede valer cero o descartar la raíz negativa al resolver x² = k (donde x = ±√k). 4. Sumar porcentajes calculados sobre bases numéricas distintas. |  |  |
| 10 | En Estadística del ICFES, ¿cuándo es más representativa la Mediana que la Media (promedio aritmético) y cómo se interpreta el Rango Intercuartílico en un Diagrama de Caja y Bigotes (Boxplot)? | La Mediana es más representativa que la Media cuando el conjunto de datos presenta valores extremos atípicos (outliers) o una distribución fuertemente asimétrica (por ejemplo, salarios en una empresa donde un directivo gana 50 veces más que el resto), ya que la media se desplaza hacia el valor extremo mientras la mediana divide exactamente al 50% de los datos. En un Boxplot, la caja central va del Cuartil 1 (Q₁, percentil 25%) al Cuartil 3 (Q₃, percentil 75%) con la Mediana (Q₂, percentil 50%) adentro; por tanto, dentro de la caja siempre se concentra exactamente el 50% central de los datos (Rango Intercuartílico RIC = Q₃ - Q₁). |  |  |
| 11 | En Sucesiones y Progresiones (examen UNAL e ICFES), ¿cuáles son las fórmulas del término n-ésimo y de la suma de los primeros n términos en una Progresión Aritmética vs. una Progresión Geométrica? | Progresión Aritmética (diferencia constante d): término general aₙ = a₁ + (n - 1)d; suma de los primeros n términos Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2. Progresión Geométrica (razón multiplicativa constante r): término general aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹; suma finita Sₙ = a₁ · (rⁿ - 1) / (r - 1); y si \|r\| < 1, la suma infinita converge a S_∞ = a₁ / (1 - r). |  |  |
| 12 | En Funciones (ICFES y UNAL), ¿cómo se identifica gráficamente si una relación es función, cuándo es inyectiva (uno a uno) y cómo se halla su función inversa f⁻¹(x)? | Prueba de la recta vertical: una gráfica representa una función si cualquier recta vertical la corta a lo sumo en un punto. Prueba de la recta horizontal: una función es inyectiva (uno a uno) si cualquier recta horizontal la corta a lo sumo en un punto. Solo las funciones biyectivas (inyectivas y sobreyectivas) tienen función inversa f⁻¹(x), cuya gráfica es el reflejo simétrico de f(x) respecto a la recta identidad y = x. |  |  |
| 13 | Si a todos los datos de un conjunto estadístico se les SUMA una constante k, ¿qué pasa con la Media y con la Desviación Estándar? ¿Y si todos los datos se MULTIPLICAN por k? | 1. Al SUMAR una constante k a cada dato: la Media (y la mediana y la moda) aumenta en k unidades (X̄_nueva = X̄ + k), pero la Desviación Estándar y la Varianza NO CAMBIAN porque la dispersión o distancia entre los datos sigue siendo exactamente la misma. 2. Al MULTIPLICAR cada dato por k: la Media se multiplica por k, la Desviación Estándar se multiplica por \|k\| y la Varianza se multiplica por k². |  |  |
| 14 | ¿Cuál es la relación entre Radianes y Grados sexagesimales y cuáles son los signos de las funciones trigonométricas en los 4 cuadrantes del plano cartesiano? | π radianes = 180° (por tanto, π/6 = 30°, π/4 = 45°, π/3 = 60°, π/2 = 90°, 2π = 360°). Regla mnemotécnica 'Todos Sienten Tantas Cosas' para los signos positivos en los cuadrantes: Cuadrante I (0° a 90°): TODAS son positivas; Cuadrante II (90° a 180°): solo SENO (y cosecante) es positivo; Cuadrante III (180° a 270°): solo TANGENTE (y cotangente) es positiva; Cuadrante IV (270° a 360°): solo COSENO (y secante) es positivo. |  |  |
| 15 | En el examen UNAL, ¿qué transformación sufre la gráfica de y = f(x) al pasar a y = f(x - c), y = f(x) + c, y = -f(x) e y = f(-x) (con c > 0)? | 1. y = f(x - c): desplazamiento horizontal de c unidades hacia la DERECHA; y = f(x + c): desplazamiento de c unidades hacia la IZQUIERDA. 2. y = f(x) + c: desplazamiento vertical de c unidades hacia ARRIBA; y = f(x) - c: hacia ABAJO. 3. y = -f(x): reflexión (espejo) respecto al eje X. 4. y = f(-x): reflexión respecto al eje Y. |  |  |
| 16 | ¿Qué establece la Desigualdad Triangular para saber si tres segmentos pueden formar un triángulo? | En todo triángulo, la longitud de cualquiera de sus lados debe ser estrictamente MENOR que la suma de los otros dos lados y estrictamente MAYOR que la diferencia positiva entre ellos: \|a - b\| < c < a + b. Por ejemplo, con segmentos de 3 cm, 4 cm y 8 cm NO se puede construir un triángulo porque 3 + 4 = 7, que es menor que 8. |  |  |
| 17 | ¿Cómo se calcula un Promedio Ponderado en las preguntas de tablas del ICFES? | Si se tienen k grupos o materias con valores x₁, x₂, ..., xₖ y pesos o frecuencias respectivas w₁, w₂, ..., wₖ, el promedio ponderado es: X̄_p = (w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₖxₖ) / (w₁ + w₂ + ... + wₖ). Error frecuente en el ICFES: promediar los promedios de dos salones de distinto tamaño sin multiplicar primero por el número de estudiantes de cada salón. |  |  |
| 18 | Por las Leyes de De Morgan en lógica y conjuntos, ¿a qué equivale la negación de 'A y B' ¬(A ∧ B) y la negación de 'A o B' ¬(A ∨ B)? | 1. La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones: ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B (en conjuntos: (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ). 2. La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones: ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B (en conjuntos: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ). |  |  |
| 19 | ¿Cómo se diferencia algebraica y gráficamente una función Par de una función Impar? | Función Par: cumple f(-x) = f(x) para todo x de su dominio y su gráfica es simétrica respecto al EJE Y (ej. f(x) = x², f(x) = cos x, f(x) = \|x\|). Función Impar: cumple f(-x) = -f(x) para todo x de su dominio y su gráfica es simétrica respecto al ORIGEN (0, 0) (ej. f(x) = x³, f(x) = x, f(x) = sen x). |  |  |
| 20 | En la función cuadrática f(x) = ax² + bx + c (con a ≠ 0), ¿cómo se calcula la coordenada del vértice (h, k), hacia dónde abre la parábola y qué representa el corte con el eje Y? | Si a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba (tiene un valor mínimo en el vértice); si a < 0 abre hacia abajo (tiene un valor máximo en el vértice, muy usado en el ICFES para maximizar ingresos o áreas). La coordenada x del vértice (y eje de simetría) es h = -b / (2a), y el valor máximo o mínimo es k = f(h). El término independiente 'c' es siempre el punto de corte con el eje vertical Y: (0, c). |  |  |
| 21 | En problemas de Diagramas de Venn de 2 y 3 conjuntos (ICFES y UNAL), ¿por dónde se debe empezar siempre a llenar el diagrama y cuál es la fórmula de cardinalidad? | Siempre se debe empezar llenando el diagrama desde adentro hacia afuera, es decir, primero la intersección triple central n(A ∩ B ∩ C), luego las intersecciones dobles restando el centro, y finalmente las regiones exclusivas de cada conjunto. La fórmula de inclusión-exclusión para dos conjuntos es: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). |  |  |
| 22 | ¿Qué establece el Teorema de Tales y cómo cambian el Perímetro, el Área y el Volumen de una figura geométrica cuando todas sus dimensiones lineales se multiplican por un factor de escala k? | El Teorema de Tales establece que si dos rectas transversales son cortadas por rectas paralelas, los segmentos determinados son proporcionales (formando triángulos semejantes). Si los lados de una figura o sólido se multiplican por un factor de escala k: 1. El Perímetro se multiplica por k; 2. El Área superficial se multiplica por k²; 3. El Volumen se multiplica por k³ (ej. si se duplica el radio de una esfera, k = 2, su área se cuadruplica 2² = 4 y su volumen se multiplica por ocho 2³ = 8). |  |  |
| 23 | En cinemática gráfica (Matemáticas y Física del ICFES), ¿qué representan la pendiente de la recta y el área bajo la curva en una gráfica de Posición vs. Tiempo y en una de Velocidad vs. Tiempo? | En una gráfica de Posición (x) vs. Tiempo (t): la PENDIENTE de la curva representa la velocidad (si es una recta horizontal, el cuerpo está en reposo; si es recta inclinada, tiene velocidad constante). En una gráfica de Velocidad (v) vs. Tiempo (t): la PENDIENTE representa la aceleración, y el ÁREA bajo la curva entre t₁ y t₂ representa la distancia recorrida (o desplazamiento Δx). |  |  |
| 24 | En Lógica Proposicional (evaluada en Razonamiento Cuantitativo y examen UNAL), ¿cómo se niegan un cuantificador universal ('Todos los A son B'), un cuantificador existencial ('Algún A es B') y una implicación ('Si P entonces Q')? | 1. La negación de 'Todos los elementos cumplen P' (∀x P(x)) NO es 'Ninguno cumple P', sino 'Existe al menos un elemento que NO cumple P' (∃x ¬P(x) — basta un contraejemplo para refutar una afirmación universal). 2. La negación de 'Existe algún elemento que cumple P' es 'Ningún elemento cumple P'. 3. Una condicional 'Si P entonces Q' (P → Q) solo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa, y es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca 'Si no Q, entonces no P' (¬Q → ¬P). |  |  |
| 25 | En Estadística del ICFES, ¿cómo se distingue una gráfica de barras o diagrama circular de un Histograma, y qué error se comete al usar un diagrama circular (torta)? | Un diagrama circular (pastel/torta) solo es válido cuando las categorías son mutuamente excluyentes y sus porcentajes suman exactamente el 100%; es INCORRECTO usarlo en encuestas de respuesta múltiple donde una persona puede elegir varias opciones (cuya suma supera el 100%). Un Histograma se usa para variables cuantitativas continuas agrupadas en intervalos de clase contiguos (las barras van unidas sin espacio entre ellas). |  |  |
| 26 | ¿Cómo se modela un problema de crecimiento bacteriano o desintegración radiactiva mediante funciones exponenciales y logarítmicas en el ICFES y la UNAL? | Si una población inicial P₀ se multiplica por un factor k cada periodo de tiempo T, la población en el tiempo t es P(t) = P₀ · k^(t/T) (por ejemplo, si se duplica cada 3 horas: P(t) = P₀ · 2^(t/3)). Para despejar el tiempo t en el exponente se aplican las propiedades de los logaritmos: log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y); log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y); log_b(xⁿ) = n · log_b(x); y log_b(bˣ) = x. |  |  |
| 27 | En Trigonometría del ICFES, ¿cómo se calcula el área de un triángulo cuando se conocen dos lados (a y b) y el ángulo comprendido (C), y cómo se halla la longitud de un arco de circunferencia? | Área trigonométrica del triángulo: A = ½ · a · b · sen(C). En una circunferencia de radio r y ángulo central θ medido en radianes (recordando que π rad = 180°), la longitud de arco es s = r · θ y el área del sector circular es A_sector = ½ · r² · θ. |  |  |
| 28 | ¿Cuáles son las 3 competencias y los 3 componentes que evalúa el ICFES en la prueba de Matemáticas (Saber 11°) y Razonamiento Cuantitativo (Saber Pro)? | Las 3 Competencias son: 1. Interpretación y representación (comprender y transformar información presentada en tablas, gráficas, diagramas o textos), 2. Formulación y ejecución (plantear y diseñar estrategias matemáticas para resolver problemas cuantitativos) y 3. Argumentación (validar o refutar conclusiones, procedimientos o soluciones propuestas). Los 3 Componentes son: Estadística (aleatorio), Geometría (geométrico-métrico) y Álgebra y Cálculo (numérico-variacional). En Razonamiento Cuantitativo se evalúan los contenidos genéricos aplicables a la vida ciudadana. |  |  |
| 29 | En un triángulo rectángulo con ángulo de elevación o depresión θ, ¿cómo permiten las razones trigonométricas (SOH-CAH-TOA) despejar rápidamente alturas y distancias sin calculadora en el ICFES? | sen(θ) = Cateto Opuesto / Hipotenusa; cos(θ) = Cateto Adyacente / Hipotenusa; tan(θ) = Cateto Opuesto / Cateto Adyacente. En un triángulo notable 30°-60°-90°, si la hipotenusa mide 2k, el cateto opuesto a 30° mide la mitad (k) y el cateto opuesto a 60° mide k√3. En un triángulo rectángulo isósceles (45°-45°-90°), ambos catetos son iguales (k) y la hipotenusa mide k√2. |  |  |
| 30 | ¿En qué se diferencian el Interés Simple y el Interés Compuesto en los problemas financieros del ICFES? | En el Interés Simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial C₀, por lo que el capital crece de forma LINEAL (progresión aritmética): M(t) = C₀ · (1 + r · t). En el Interés Compuesto, los intereses generados en cada periodo se capitalizan (se suman al capital para generar nuevos intereses), por lo que el capital crece de forma EXPONENCIAL (progresión geométrica): M(t) = C₀ · (1 + r)ᵗ. |  |  |
| 31 | En Geometría del ICFES y la UNAL, ¿cuáles son las ternas pitagóricas más frecuentes y cuánto miden la diagonal de un cuadrado de lado L y la altura de un triángulo equilátero de lado L? | Ternas pitagóricas clásicas (a² + b² = c²) y sus múltiplos: (3, 4, 5) → (6, 8, 10), (9, 12, 15); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25). En un cuadrado de lado L, la diagonal es d = L√2 (triángulo 45°-45°-90°). En un triángulo equilátero de lado L (ángulos de 60°), la altura es h = (L√3)/2 y su área es A = (L²√3)/4. |  |  |
| 32 | En Razonamiento Cuantitativo del ICFES, si un producto sufre un descuento del 20% y luego sobre el nuevo precio se le aplica un IVA del 20%, ¿el precio final es igual, mayor o menor que el precio original? | Es MENOR que el precio original en un 4%. Demostración: si el precio inicial es 100, con descuento del 20% baja a 100 × 0.80 = 80; al sumarle luego el 20% de 80 (que es 16), queda en 80 × 1.20 = 96 (una reducción neta del 4%). Los porcentajes sucesivos no se suman ni se cancelan linealmente, sino que se multiplican sus factores: (1 - 0.20)(1 + 0.20) = 0.96. |  |  |

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