Математика НМТ (Похідна функції та її застосування): запишіть правила диференціювання добутку й частки, рівняння дотичної та умову екстремуму функції.

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$; $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$; $(f(kx + b))' = k \cdot f'(kx + b)$. Геометричний зміст похідної: $f'(x_0) = k = \tan \alpha$ (кутовий коефіцієнт дотичної); рівняння дотичної: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Механічний зміст: $s'(t) = v(t)$, $v'(t) = a(t)$. У точках екстремуму $f'(x_0) = 0$ і похідна змінює знак («+» на «−» — максимум, «−» на «+» — мінімум).

Математика НМТ (Стереометрія

Призма: $V = S_{\text{осн}} H$, $S_{\text{біч}} = P_{\perp} \cdot l$. Піраміда: $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} H$, для правильної піраміди $S_{\text{біч}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l$ ($l$

Фізика НМТ (Атомна та ядерна фізика): запишіть правила зміщення при $\alpha$- і $\beta^-$-розпадах, закон радіоактивного розпаду та формулу дефекту мас і енергії зв'язку атомного ядра.

У ядрі $_Z^A\text{X}$ міститься $Z$ протонів і $N = A - Z$ нейтронів. При $\alpha$-розпаді (ядро гелію $_2^4\text{He}$): $_Z^A\text{X} \to _{Z-2}^{A-4}\text{Y} + _2^4\text{He}$. При електронному $\beta^-$-розпаді: $_Z^A\text{X} \to _{Z+1}^A\text{Y} + _{-1}^0e$. Закон радіоактивного розпаду: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$ (де $T$ — період піврозпаду). Дефект мас ядра: $\Delta m = Z m_p + (A - Z)m_n - m_{\text{ядра}}$; енергія зв'язку: $E_{\text{зв}} = \Delta m \cdot c^2$ ($1\text{ а.о.м.} \approx 931{,}5\text{ МеВ}$).

Фізика НМТ (Потужність електричного струму та ККД джерела струму): як змінюється потужність споживача при послідовному й паралельному ввімкненні та за якої умови в колі виділяється максимальна корисна потужність?

Потужність струму: $P = I U = I^2 R = \frac{U^2}{R}$. При паралельному з'єднанні ($U = \text{const}$) більшу потужність споживає резистор із МЕНШИМ опором ($P = \frac{U^2}{R}$); при послідовному ($I = \text{const}$) — із БІЛЬШИМ опором ($P = I^2 R$). ККД джерела струму з ЕРС $\mathcal{E}$ і внутрішнім опором $r$: $\eta = \frac{U}{\mathcal{E}} = \frac{R}{R + r}$; максимальна корисна потужність у зовнішньому колі виділяється при $R = r$ ($P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$, при цьому $\eta = 50\%$).

Математика НМТ (Комбінаторика та теорія ймовірностей): коли у текстових задачах НМТ застосовують перестановки $P_n$, розміщення $A_n^k$ чи комбінації $C_n^k$?

Якщо вибирають усі $n$ елементів і порядок важливий (розсадити $n$ людей у ряд) — перестановки $P_n = n!$. Якщо вибирають $k$ елементів із $n$ і порядок або ролі РІЗНІ (обрати голову і секретаря, скласти код із різних цифр) — розміщення $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Якщо вибирають команду/підмножину з $k$ елементів із $n$ і порядок НЕ має значення (обрати 3 чергових, букет із 5 квіток) — комбінації $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Фізика НМТ (Закони збереження, гідростатика та коливання): запишіть закон Паскаля, умову рівноваги важеля (правило моментів), період математичного та пружинного маятників.

Гідростатичний тиск: $p = \rho g h$; для гідравлічного преса $\frac{F_1}{F_2} = \frac{S_1}{S_2}$. Момент сили: $M = F \cdot d$ ($d$ — плече сили). Кінетична енергія: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{p^2}{2m}$; потенціальна енергія пружини: $E_p = \frac{k(\Delta x)^2}{2}$. Період математичного маятника: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ (не залежить від маси й амплітуди!); період пружинного маятника: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

Математика НМТ (Симетрія відносно точок, осей і координатних площин у просторі): які координати матиме точка, симетрична точці $A(x; y; z)$ відносно початку координат, осі $Oz$ та площини $xOy$?

Симетрія відносно початку координат $O(0; 0; 0)$ змінює знаки ВСІХ координат: $A'(-x; -y; -z)$. Симетрія відносно координатної площини $xOy$ зберігає $x$ та $y$ і змінює знак третьої координати: $A'(x; y; -z)$. Симетрія відносно осі $Oz$ зберігає координату $z$ і змінює знаки двох інших координат: $A'(-x; -y; z)$.

Математика НМТ (Планіметрія

Площа трикутника: $S = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = p \cdot r = \frac{abc}{4R}$, де $p = \frac{a+b+c}{2}$. Для прямокутного трикутника ($c$

Математика НМТ (Рівняння кола та прямої на площині): запишіть канонічне рівняння кола, рівняння прямої та умови паралельності й перпендикулярності двох прямих $y = k_1 x + b_1$ і $y = k_2 x + b_2$.

Рівняння кола з центром $(x_0; y_0)$ і радіусом $R$: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Прямі $y = k_1 x + b_1$ та $y = k_2 x + b_2$ паралельні тоді й лише тоді, коли $k_1 = k_2$ (і $b_1 \ne b_2$); перпендикулярні — коли добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює $-1$: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Математика НМТ (Текстові задачі на рух по воді та рух по колу): як записуються швидкості човна за течією і проти течії та відносна швидкість при русі двох тіл назустріч і навздогін?

Рух по воді: $v_{\text{за теч}} = v_{\text{вл}} + v_{\text{теч}}$, $v_{\text{проти теч}} = v_{\text{вл}} - v_{\text{теч}}$, звідки швидкість течії (плоту) $v_{\text{теч}} = \frac{v_{\text{за теч}} - v_{\text{проти теч}}}{2}$, а власна швидкість $v_{\text{вл}} = \frac{v_{\text{за теч}} + v_{\text{проти теч}}}{2}$. При русі назустріч швидкість зближення дорівнює $v_1 + v_2$, а при русі в одному напрямку (навздогін) — $|v_1 - v_2|$.

Фізика НМТ (Шкала електромагнітних хвиль): розташуйте види електромагнітного випромінювання в порядку зростання частоти $\nu$ (і спадання довжини хвилі $\lambda$).

У порядку зростання частоти $\nu$ (і енергії кванта $E = h\nu$) та спадання довжини хвилі $\lambda = \frac{c}{\nu}$: 1) радіохвилі $\to$ 2) інфрачервоне (теплове) випромінювання $\to$ 3) видиме світло (від червоного $\approx 760\text{ нм}$ до фіолетового $\approx 380\text{ нм}$: «Чапля Осінь Жде Завзято, Буде Сани Фарбувати») $\to$ 4) ультрафіолетове випромінювання $\to$ 5) рентгенівське випромінювання $\to$ 6) гамма-випромінювання ($\gamma$).

Математика НМТ (Прямокутний паралелепіпед і куб): запишіть формулу просторової діагоналі прямокутного паралелепіпеда, діагоналі куба та радіуса кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Для куба з ребром $a$: просторова діагональ $d = a\sqrt{3}$, діагональ грані $d_{\text{гр}} = a\sqrt{2}$, площа повної поверхні $S = 6a^2$, об'єм $V = a^3$. Радіус кулі, описаної навколо будь-якого прямокутного паралелепіпеда, дорівнює половині його просторової діагоналі ($R = \frac{d}{2}$), а радіус кулі, вписаної в куб — $r = \frac{a}{2}$.

Математика НМТ (Модулі та ірраціональні рівняння): як рівносильно розв'язуються рівняння $\sqrt{f(x)} = g(x)$ та нерівності $|f(x)| a$ ($a > 0$)?

Рівняння $\sqrt{f(x)} = g(x)$ рівносильне системі $\begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$ (умова $f(x) \ge 0$ виконується автоматично!). Нерівність $|f(x)| 0$) рівносильна подвійній нерівності $-a a$ рівносильна сукупності $f(x) > a$ або $f(x) < -a$. Важливо: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Фізика НМТ (Молекулярна фізика і термодинаміка): запишіть основне рівняння МКТ ідеального газу, середню кінетичну енергію молекули, газові закони (Бойля — Маріотта, Гей-Люссака, Шарля) та поверхневий натяг.

Основне рівняння МКТ: $p = \frac{1}{3} m_0 n \overline{v^2} = \frac{2}{3} n \overline{E}_k = n k T$, де середня кінетична енергія поступального руху молекули $\overline{E}_k = \frac{3}{2} k T$. Ізопроцеси ($\frac{pV}{T} = \text{const}$): ізотермічний ($T = \text{const}$, закон Бойля — Маріотта: $pV = \text{const}$); ізобарний ($p = \text{const}$, закон Гей-Люссака: $\frac{V}{T} = \text{const}$); ізохорний ($V = \text{const}$, закон Шарля: $\frac{p}{T} = \text{const}$). Висота підйому рідини в капілярі: $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$.

Математика НМТ (Логарифми та показникові вирази): запишіть основну логарифмічну тотожність, властивості логарифмів та умови рівносильності логарифмічних нерівностей.

Основна тотожність ($a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0$): $a^{\log_a b} = b$. Властивості: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$; $\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$; $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$; перехід до нової основи: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\log_b a}$. У нерівності $\log_a f(x) > \log_a g(x)$: якщо $a > 1$, то $f(x) > g(x) > 0$; якщо $0 < a < 1$, знак нерівності змінюється на протилежний: $0 < f(x) < g(x)$!

Математика НМТ (Метод інтервалів для дробово-раціональних нерівностей): як змінюється знак виразу $(x - a)^k$ при переході через корінь $x = a$ парної та непарної кратності?

При переході через корінь НЕПАРНОЇ кратності ($k = 1, 3, 5\dots$) знак дробово-раціональної функції ЗМІНЮЄТЬСЯ на протилежний. При переході через корінь ПАРНОЇ кратності ($k = 2, 4\dots$, наприклад $(x - 3)^2$) знак виразу НЕ ЗМІНЮЄТЬСЯ («петля»), тому необхідно обов'язково перевіряти, чи входить сама точка $x = a$ у множину розв'язків нерівності ($\le$ або $\ge$ з урахуванням ОДЗ знаменника).

Математика НМТ (Многокутники і коло): чому дорівнює сума внутрішніх і сума зовнішніх кутів опуклого $n$-кутника, довжина кола, площа круга та площа кругового сектора?

Сума внутрішніх кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n - 2)$; сума зовнішніх кутів (узятих по одному при кожній вершині) для будь-якого опуклого $n$-кутника становить $360^\circ$. Кількість діагоналей $n$-кутника: $\frac{n(n-3)}{2}$. Довжина кола $C = 2\pi R$, площа круга $S = \pi R^2$, площа сектора з центральним кутом $\alpha$ (у градусах): $S_{\text{сект}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$. Вписаний у коло кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.

Фізика НМТ (Вологість повітря та фазові переходи): які формули описують відносну вологість повітря, кількість теплоти при нагріванні, плавленні, пароутворенні та згорянні палива?

Відносна вологість повітря: $\varphi = \frac{\rho_{\text{п}}}{\rho_{\text{н.п.}}} \cdot 100\% = \frac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н.п.}}} \cdot 100\%$ (вимірюється гігрометром або психрометром; чим менша різниця показів сухого й вологого термометрів, тим вища відносна вологість). Кількість теплоти: нагрівання/охолодження $Q = c m \Delta t$; плавлення/кристалізація $Q = \lambda m$; пароутворення/конденсація $Q = L m$ (або $r m$); згоряння палива $Q = q m$.

Фізика НМТ (Електростатика та постійний струм): запишіть закон Кулона, правила з'єднання резисторів і конденсаторів, закон Ома та закон Фарадея для електролізу.

Закон Кулона: $F = k\frac{|q_1||q_2|}{\varepsilon r^2}$; напруженість поля $E = \frac{F}{q}$; зв'язок з напругою в однорідному полі $U = E d$. Опір провідника: $R = \rho \frac{l}{S}$. Послідовне з'єднання резисторів: $I = \text{const},\ R = R_1 + R_2$; паралельне: $U = \text{const},\ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Для конденсаторів навпаки: при паралельному $C = C_1 + C_2$, при послідовному $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$. Перший закон Фарадея для електролізу: маса виділеної на електроді речовини $m = k I t = k q$, де $k$ — електрохімічний еквівалент.

Математика НМТ (Функції та їхні графіки): як змінюється графік функції $y = f(x)$ при перетвореннях $y = f(x - a) + b$, $y = f(|x|)$ та $y = |f(x)|$?

$y = f(x - a) + b$ — паралельне перенесення графіка вздовж осі $Ox$ на $a$ одиниць праворуч (якщо $a > 0$) або ліворуч (якщо $a < 0$) і вздовж осі $Oy$ на $b$ одиниць вгору/вниз. $y = |f(x)|$ — частина графіка вище осі $Ox$ залишається без змін, а нижня частина ($f(x) < 0$) симетрично відображається відносно осі $Ox$ угору. $y = f(|x|)$ — права частина графіка ($x \ge 0$) залишається і симетрично відображається відносно осі $Oy$ у ліву півплощину (функція парна).

Фізика НМТ (Оптика та спеціальна теорія відносності): сформулюйте закон заломлення світла Снелліуса, умову повного внутрішнього відбивання та формулу Ейнштейна для зв'язку маси й енергії.

Абсолютний показник заломлення середовища: $n = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ (під час переходу світла в інше середовище частота $\nu$ НЕ змінюється, а змінюються швидкість $v$ і довжина хвилі $\lambda$!). Закон заломлення: $\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{v_1}{v_2}$. Граничний кут повного внутрішнього відбивання (перехід із оптично густішого у менш густе середовище, $n_1 > n_2$): $\sin \alpha_0 = \frac{n_2}{n_1}$. Енергія спокою: $E_0 = mc^2$.

Математика НМТ (Текстові задачі на сплави, суміші та розчини): як за допомогою рівняння балансу чистої речовини розв'язати задачу на змішування двох розчинів?

Маса розчиненої речовини у суміші дорівнює сумі мас розчиненої речовини у вихідних розчинах: $m_1 \cdot \omega_1 + m_2 \cdot \omega_2 = (m_1 + m_2) \cdot \omega_{\text{сум}}$. При додаванні чистої води її концентрація $\omega = 0\%$, при випаровуванні води — віднімаємо масу води з маси розчину ($m_1 \omega_1 = (m_1 - m_{\text{води}})\omega_2$), а при додаванні сухої солі/речовини — її концентрація становить $100\%$ ($\omega = 1$).

Математика НМТ (Подільність чисел, НСД, НСК та відсотки): запишіть зв'язок між $\text{НСД}(a, b)$ і $\text{НСК}(a, b)$ та формулу складних відсотків.

Добуток найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного двох натуральних чисел дорівнює добутку цих чисел: $\text{НСД}(a, b) \cdot \text{НСК}(a, b) = a \cdot b$. Формула складних відсотків (банківський депозит під $p\%$ річних на $n$ років): $S_n = S_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$.

Математика НМТ (Алгебра — квадратне рівняння та теорема Вієта): запишіть теорему Вієта та розклад квадратного тричлена $ax^2 + bx + c$ на лінійні множники.

Для зведеного квадратного рівняння $x^2 + px + q = 0$ сума коренів $x_1 + x_2 = -p$, а добуток $x_1 \cdot x_2 = q$. Для загального рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ ($D = b^2 - 4ac \ge 0$): $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, а розклад має вигляд $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Вершина параболи: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Математика НМТ (Вектори і координати у просторі): запишіть формули довжини вектора, скалярного добутку, кута між векторами, умов колінеарності та перпендикулярності векторів.

Для векторів $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$: довжина $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$; скалярний добуток $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \varphi$. Вектори перпендикулярні ($\vec{a} \perp \vec{b}$) $\iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Вектори колінеарні ($\vec{a} \parallel \vec{b}$) $\iff \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$. Координати середини відрізка $AB$: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Фізика НМТ (Магнітне поле, змінні струми та трансформатор): як визначається коефіцієнт трансформації трансформатора і які частинки є основними носіями струму в металах, електролітах, газах та напівпровідниках $n$- і $p$-типу?

Коефіцієнт трансформації: $k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2} \approx \frac{I_2}{I_1}$ (якщо $k > 1$ — трансформатор понижувальний, якщо $k < 1$ — підвищувальний). Носії струму: у металах — вільні електрони; у розчинах і розплавах електролітів — позитивні й негативні йони (катіони й аніони); у газах — електрони та позитивні й негативні йони; у напівпровідниках: власна провідність — електрони і «дірки»; донорні домішки (5-валентний $\text{P}, \text{As}$ у 4-валентному $\text{Si}$) дають електронну провідність ($n$-тип); акцепторні домішки (3-валентний $\text{B}, \text{In}, \text{Ga}$) — діркову провідність ($p$-тип).

Математика НМТ (Тригонометрія): запишіть основні тригонометричні тотожності, формули подвійного кута та табличні значення для $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$.

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$; $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$; $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$; $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Подвійний кут: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$; $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$. Значення: $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$; $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$; $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

Математика НМТ (Арифметична та геометрична прогресії): запишіть формули $n$-го члена, характеристичної властивості та суми перших $n$ членів для обох прогресій.

Арифметична прогресія: $a_n = a_1 + d(n - 1)$; $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$; $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$. Геометрична прогресія: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$; $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$; $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ($q \ne 1$). Сума нескінченної спадної геометричної прогресії ($|q| < 1$): $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Математика НМТ (Планіметрія — чотирикутники та коло): за яких умов навколо чотирикутника можна описати коло і за яких — вписати в нього коло?

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює $180^\circ$ ($\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$). У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні ($a + c = b + d$). У паралелограмі сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Площа ромба: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 = a^2 \sin \alpha = a h$; площа трапеції: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Фізика НМТ (Динаміка

Другий закон Ньютона: $\vec{F}_{\text{рівн}} = m\vec{a}$. Закон Гука: $F_{\text{пруж}} = k \Delta x$ (при послідовному з'єднанні пружин $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$, при паралельному $k = k_1 + k_2$). Сила тертя ковзання: $F_{\text{тер}} = \mu N$ (на похилій площині з кутом $\alpha$: $N = mg \cos \alpha$). Сила Архімеда: $F_{\text{А}} = \rho_{\text{рід}} g V_{\text{зан}}$. Вага тіла: при русі з прискоренням $\vec{a}$ вгору $P = m(g + a)$ (перевантаження); при русі з прискоренням $\vec{a}$ вниз $P = m(g - a)$ (при $a = g$

Фізика НМТ (Механіка

Рівноприскорений рух: $v_x = v_{0x} + a_x t$; $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$; формула без часу: $s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$ (гальмівний шлях до зупинки при $a = \mu g$: $s_{\text{гальм}} = \frac{v_0^2}{2\mu g}$

НМТ / ЗНО — Математика та Фізика: Алгебра (функції, логарифми, тригонометрія, похідна, інтеграл), геометрія (планіметрія, стереометрія, вектори), механіка, молекулярна фізика та електродинаміка

Повний курс формул і методів розв'язування задач НМТ з математики (прогресії, логарифми, тригонометрія, похідна, первісна, планіметрія, стереометрія, вектори, комбінаторика) та фізики (механіка, МКТ, електродинаміка, оптика, кванти).

Level: intermediate
Languages: uk → uk
Cards: 32
Markdown: НМТ / ЗНО — Математика та Фізика: Алгебра (функції, логарифми, тригонометрія, похідна, інтеграл), геометрія (планіметрія, стереометрія, вектори), механіка, молекулярна фізика та електродинаміка (.md)

Flashcards (32)

#	Front (Term / Question)	Back (Definition / Answer)	Example
1	Математика НМТ (Похідна функції та її застосування): запишіть правила диференціювання добутку й частки, рівняння дотичної та умову екстремуму функції.	$(u \cdot v)' = u'v + uv'$; $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$; $(f(kx + b))' = k \cdot f'(kx + b)$. Геометричний зміст похідної: $f'(x_0) = k = \tan \alpha$ (кутовий коефіцієнт дотичної); рівняння дотичної: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Механічний зміст: $s'(t) = v(t)$, $v'(t) = a(t)$. У точках екстремуму $f'(x_0) = 0$ і похідна змінює знак («+» на «−» — максимум, «−» на «+» — мінімум).
2	Математика НМТ (Стереометрія	Призма: $V = S_{\text{осн}} H$, $S_{\text{біч}} = P_{\perp} \cdot l$. Піраміда: $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} H$, для правильної піраміди $S_{\text{біч}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l$ ($l$	многогранники і тіла обертання): запишіть формули об'єму та площі бічної поверхні призми, піраміди, циліндра, конуса і кулі. — апофема), а якщо всі бічні грані нахилені до основи під кутом $\alpha$, то $S_{\text{осн}} = S_{\text{біч}} \cos \alpha$. Циліндр: $V = \pi R^2 H$, $S_{\text{біч}} = 2\pi R H$. Конус: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, $S_{\text{біч}} = \pi R l$ ($l^2 = R^2 + H^2$). Куля і сфера: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, $S_{\text{сфери}} = 4\pi R^2$.
3	Фізика НМТ (Атомна та ядерна фізика): запишіть правила зміщення при $\alpha$- і $\beta^-$-розпадах, закон радіоактивного розпаду та формулу дефекту мас і енергії зв'язку атомного ядра.	У ядрі $_Z^A\text{X}$ міститься $Z$ протонів і $N = A - Z$ нейтронів. При $\alpha$-розпаді (ядро гелію $_2^4\text{He}$): $_Z^A\text{X} \to _{Z-2}^{A-4}\text{Y} + _2^4\text{He}$. При електронному $\beta^-$-розпаді: $_Z^A\text{X} \to _{Z+1}^A\text{Y} + _{-1}^0e$. Закон радіоактивного розпаду: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$ (де $T$ — період піврозпаду). Дефект мас ядра: $\Delta m = Z m_p + (A - Z)m_n - m_{\text{ядра}}$; енергія зв'язку: $E_{\text{зв}} = \Delta m \cdot c^2$ ($1\text{ а.о.м.} \approx 931{,}5\text{ МеВ}$).
4	Фізика НМТ (Потужність електричного струму та ККД джерела струму): як змінюється потужність споживача при послідовному й паралельному ввімкненні та за якої умови в колі виділяється максимальна корисна потужність?	Потужність струму: $P = I U = I^2 R = \frac{U^2}{R}$. При паралельному з'єднанні ($U = \text{const}$) більшу потужність споживає резистор із МЕНШИМ опором ($P = \frac{U^2}{R}$); при послідовному ($I = \text{const}$) — із БІЛЬШИМ опором ($P = I^2 R$). ККД джерела струму з ЕРС $\mathcal{E}$ і внутрішнім опором $r$: $\eta = \frac{U}{\mathcal{E}} = \frac{R}{R + r}$; максимальна корисна потужність у зовнішньому колі виділяється при $R = r$ ($P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$, при цьому $\eta = 50\%$).
5	Математика НМТ (Комбінаторика та теорія ймовірностей): коли у текстових задачах НМТ застосовують перестановки $P_n$, розміщення $A_n^k$ чи комбінації $C_n^k$?	Якщо вибирають усі $n$ елементів і порядок важливий (розсадити $n$ людей у ряд) — перестановки $P_n = n!$. Якщо вибирають $k$ елементів із $n$ і порядок або ролі РІЗНІ (обрати голову і секретаря, скласти код із різних цифр) — розміщення $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Якщо вибирають команду/підмножину з $k$ елементів із $n$ і порядок НЕ має значення (обрати 3 чергових, букет із 5 квіток) — комбінації $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
6	Фізика НМТ (Закони збереження, гідростатика та коливання): запишіть закон Паскаля, умову рівноваги важеля (правило моментів), період математичного та пружинного маятників.	Гідростатичний тиск: $p = \rho g h$; для гідравлічного преса $\frac{F_1}{F_2} = \frac{S_1}{S_2}$. Момент сили: $M = F \cdot d$ ($d$ — плече сили). Кінетична енергія: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{p^2}{2m}$; потенціальна енергія пружини: $E_p = \frac{k(\Delta x)^2}{2}$. Період математичного маятника: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ (не залежить від маси й амплітуди!); період пружинного маятника: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
7	Математика НМТ (Симетрія відносно точок, осей і координатних площин у просторі): які координати матиме точка, симетрична точці $A(x; y; z)$ відносно початку координат, осі $Oz$ та площини $xOy$?	Симетрія відносно початку координат $O(0; 0; 0)$ змінює знаки ВСІХ координат: $A'(-x; -y; -z)$. Симетрія відносно координатної площини $xOy$ зберігає $x$ та $y$ і змінює знак третьої координати: $A'(x; y; -z)$. Симетрія відносно осі $Oz$ зберігає координату $z$ і змінює знаки двох інших координат: $A'(-x; -y; z)$.
8	Математика НМТ (Планіметрія	Площа трикутника: $S = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = p \cdot r = \frac{abc}{4R}$, де $p = \frac{a+b+c}{2}$. Для прямокутного трикутника ($c$	трикутники): запишіть 5 формул площі трикутника, радіуси вписаного ($r$) і описаного ($R$) кіл та властивість бісектриси і медіан. — гіпотенуза): $R = \frac{c}{2}$, $r = \frac{a + b - c}{2}$, $h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}$. Для правильного трикутника зі стороною $a$: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ ($R = 2r$). Медіани перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини; бісектриса ділить протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам ($\frac{a_1}{b_1} = \frac{a}{b}$).
9	Математика НМТ (Рівняння кола та прямої на площині): запишіть канонічне рівняння кола, рівняння прямої та умови паралельності й перпендикулярності двох прямих $y = k_1 x + b_1$ і $y = k_2 x + b_2$.	Рівняння кола з центром $(x_0; y_0)$ і радіусом $R$: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Прямі $y = k_1 x + b_1$ та $y = k_2 x + b_2$ паралельні тоді й лише тоді, коли $k_1 = k_2$ (і $b_1 \ne b_2$); перпендикулярні — коли добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює $-1$: $k_1 \cdot k_2 = -1$.
10	Математика НМТ (Текстові задачі на рух по воді та рух по колу): як записуються швидкості човна за течією і проти течії та відносна швидкість при русі двох тіл назустріч і навздогін?	Рух по воді: $v_{\text{за теч}} = v_{\text{вл}} + v_{\text{теч}}$, $v_{\text{проти теч}} = v_{\text{вл}} - v_{\text{теч}}$, звідки швидкість течії (плоту) $v_{\text{теч}} = \frac{v_{\text{за теч}} - v_{\text{проти теч}}}{2}$, а власна швидкість $v_{\text{вл}} = \frac{v_{\text{за теч}} + v_{\text{проти теч}}}{2}$. При русі назустріч швидкість зближення дорівнює $v_1 + v_2$, а при русі в одному напрямку (навздогін) — $\|v_1 - v_2\|$.
11	Фізика НМТ (Шкала електромагнітних хвиль): розташуйте види електромагнітного випромінювання в порядку зростання частоти $\nu$ (і спадання довжини хвилі $\lambda$).	У порядку зростання частоти $\nu$ (і енергії кванта $E = h\nu$) та спадання довжини хвилі $\lambda = \frac{c}{\nu}$: 1) радіохвилі $\to$ 2) інфрачервоне (теплове) випромінювання $\to$ 3) видиме світло (від червоного $\approx 760\text{ нм}$ до фіолетового $\approx 380\text{ нм}$: «Чапля Осінь Жде Завзято, Буде Сани Фарбувати») $\to$ 4) ультрафіолетове випромінювання $\to$ 5) рентгенівське випромінювання $\to$ 6) гамма-випромінювання ($\gamma$).
12	Математика НМТ (Прямокутний паралелепіпед і куб): запишіть формулу просторової діагоналі прямокутного паралелепіпеда, діагоналі куба та радіуса кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда.	Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Для куба з ребром $a$: просторова діагональ $d = a\sqrt{3}$, діагональ грані $d_{\text{гр}} = a\sqrt{2}$, площа повної поверхні $S = 6a^2$, об'єм $V = a^3$. Радіус кулі, описаної навколо будь-якого прямокутного паралелепіпеда, дорівнює половині його просторової діагоналі ($R = \frac{d}{2}$), а радіус кулі, вписаної в куб — $r = \frac{a}{2}$.
13	Математика НМТ (Модулі та ірраціональні рівняння): як рівносильно розв'язуються рівняння $\sqrt{f(x)} = g(x)$ та нерівності $\|f(x)\| < a$ і $\|f(x)\| > a$ ($a > 0$)?	Рівняння $\sqrt{f(x)} = g(x)$ рівносильне системі $\begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$ (умова $f(x) \ge 0$ виконується автоматично!). Нерівність $\|f(x)\| < a$ ($a > 0$) рівносильна подвійній нерівності $-a < f(x) < a$ (система); нерівність $\|f(x)\| > a$ рівносильна сукупності $f(x) > a$ або $f(x) < -a$. Важливо: $\sqrt{x^2} = \|x\|$.
14	Фізика НМТ (Молекулярна фізика і термодинаміка): запишіть основне рівняння МКТ ідеального газу, середню кінетичну енергію молекули, газові закони (Бойля — Маріотта, Гей-Люссака, Шарля) та поверхневий натяг.	Основне рівняння МКТ: $p = \frac{1}{3} m_0 n \overline{v^2} = \frac{2}{3} n \overline{E}_k = n k T$, де середня кінетична енергія поступального руху молекули $\overline{E}_k = \frac{3}{2} k T$. Ізопроцеси ($\frac{pV}{T} = \text{const}$): ізотермічний ($T = \text{const}$, закон Бойля — Маріотта: $pV = \text{const}$); ізобарний ($p = \text{const}$, закон Гей-Люссака: $\frac{V}{T} = \text{const}$); ізохорний ($V = \text{const}$, закон Шарля: $\frac{p}{T} = \text{const}$). Висота підйому рідини в капілярі: $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$.
15	Математика НМТ (Логарифми та показникові вирази): запишіть основну логарифмічну тотожність, властивості логарифмів та умови рівносильності логарифмічних нерівностей.	Основна тотожність ($a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0$): $a^{\log_a b} = b$. Властивості: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$; $\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$; $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$; перехід до нової основи: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\log_b a}$. У нерівності $\log_a f(x) > \log_a g(x)$: якщо $a > 1$, то $f(x) > g(x) > 0$; якщо $0 < a < 1$, знак нерівності змінюється на протилежний: $0 < f(x) < g(x)$!
16	Математика НМТ (Первісна та визначений інтеграл): запишіть формулу Ньютона	Формула Ньютона	Лейбніца, площу криволінійної трапеції та фізичний зміст інтеграла від швидкості. — Лейбніца: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, де $F'(x) = f(x)$. Площа фігури, обмеженої графіками $y = f(x)$ (зверху) та $y = g(x)$ (знизу) на $[a; b]$, дорівнює $S = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$. Шлях, пройдений тілом за проміжок часу від $t_1$ до $t_2$, дорівнює $s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
17	Математика НМТ (Метод інтервалів для дробово-раціональних нерівностей): як змінюється знак виразу $(x - a)^k$ при переході через корінь $x = a$ парної та непарної кратності?	При переході через корінь НЕПАРНОЇ кратності ($k = 1, 3, 5\dots$) знак дробово-раціональної функції ЗМІНЮЄТЬСЯ на протилежний. При переході через корінь ПАРНОЇ кратності ($k = 2, 4\dots$, наприклад $(x - 3)^2$) знак виразу НЕ ЗМІНЮЄТЬСЯ («петля»), тому необхідно обов'язково перевіряти, чи входить сама точка $x = a$ у множину розв'язків нерівності ($\le$ або $\ge$ з урахуванням ОДЗ знаменника).
18	Математика НМТ (Многокутники і коло): чому дорівнює сума внутрішніх і сума зовнішніх кутів опуклого $n$-кутника, довжина кола, площа круга та площа кругового сектора?	Сума внутрішніх кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n - 2)$; сума зовнішніх кутів (узятих по одному при кожній вершині) для будь-якого опуклого $n$-кутника становить $360^\circ$. Кількість діагоналей $n$-кутника: $\frac{n(n-3)}{2}$. Довжина кола $C = 2\pi R$, площа круга $S = \pi R^2$, площа сектора з центральним кутом $\alpha$ (у градусах): $S_{\text{сект}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$. Вписаний у коло кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.
19	Фізика НМТ (Вологість повітря та фазові переходи): які формули описують відносну вологість повітря, кількість теплоти при нагріванні, плавленні, пароутворенні та згорянні палива?	Відносна вологість повітря: $\varphi = \frac{\rho_{\text{п}}}{\rho_{\text{н.п.}}} \cdot 100\% = \frac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н.п.}}} \cdot 100\%$ (вимірюється гігрометром або психрометром; чим менша різниця показів сухого й вологого термометрів, тим вища відносна вологість). Кількість теплоти: нагрівання/охолодження $Q = c m \Delta t$; плавлення/кристалізація $Q = \lambda m$; пароутворення/конденсація $Q = L m$ (або $r m$); згоряння палива $Q = q m$.
20	Фізика НМТ (Електростатика та постійний струм): запишіть закон Кулона, правила з'єднання резисторів і конденсаторів, закон Ома та закон Фарадея для електролізу.	Закон Кулона: $F = k\frac{\|q_1\|\|q_2\|}{\varepsilon r^2}$; напруженість поля $E = \frac{F}{q}$; зв'язок з напругою в однорідному полі $U = E d$. Опір провідника: $R = \rho \frac{l}{S}$. Послідовне з'єднання резисторів: $I = \text{const},\ R = R_1 + R_2$; паралельне: $U = \text{const},\ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Для конденсаторів навпаки: при паралельному $C = C_1 + C_2$, при послідовному $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$. Перший закон Фарадея для електролізу: маса виділеної на електроді речовини $m = k I t = k q$, де $k$ — електрохімічний еквівалент.
21	Математика НМТ (Функції та їхні графіки): як змінюється графік функції $y = f(x)$ при перетвореннях $y = f(x - a) + b$, $y = f(\|x\|)$ та $y = \|f(x)\|$?	$y = f(x - a) + b$ — паралельне перенесення графіка вздовж осі $Ox$ на $a$ одиниць праворуч (якщо $a > 0$) або ліворуч (якщо $a < 0$) і вздовж осі $Oy$ на $b$ одиниць вгору/вниз. $y = \|f(x)\|$ — частина графіка вище осі $Ox$ залишається без змін, а нижня частина ($f(x) < 0$) симетрично відображається відносно осі $Ox$ угору. $y = f(\|x\|)$ — права частина графіка ($x \ge 0$) залишається і симетрично відображається відносно осі $Oy$ у ліву півплощину (функція парна).
22	Фізика НМТ (Оптика та спеціальна теорія відносності): сформулюйте закон заломлення світла Снелліуса, умову повного внутрішнього відбивання та формулу Ейнштейна для зв'язку маси й енергії.	Абсолютний показник заломлення середовища: $n = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ (під час переходу світла в інше середовище частота $\nu$ НЕ змінюється, а змінюються швидкість $v$ і довжина хвилі $\lambda$!). Закон заломлення: $\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{v_1}{v_2}$. Граничний кут повного внутрішнього відбивання (перехід із оптично густішого у менш густе середовище, $n_1 > n_2$): $\sin \alpha_0 = \frac{n_2}{n_1}$. Енергія спокою: $E_0 = mc^2$.
23	Математика НМТ (Текстові задачі на сплави, суміші та розчини): як за допомогою рівняння балансу чистої речовини розв'язати задачу на змішування двох розчинів?	Маса розчиненої речовини у суміші дорівнює сумі мас розчиненої речовини у вихідних розчинах: $m_1 \cdot \omega_1 + m_2 \cdot \omega_2 = (m_1 + m_2) \cdot \omega_{\text{сум}}$. При додаванні чистої води її концентрація $\omega = 0\%$, при випаровуванні води — віднімаємо масу води з маси розчину ($m_1 \omega_1 = (m_1 - m_{\text{води}})\omega_2$), а при додаванні сухої солі/речовини — її концентрація становить $100\%$ ($\omega = 1$).
24	Математика НМТ (Подільність чисел, НСД, НСК та відсотки): запишіть зв'язок між $\text{НСД}(a, b)$ і $\text{НСК}(a, b)$ та формулу складних відсотків.	Добуток найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного двох натуральних чисел дорівнює добутку цих чисел: $\text{НСД}(a, b) \cdot \text{НСК}(a, b) = a \cdot b$. Формула складних відсотків (банківський депозит під $p\%$ річних на $n$ років): $S_n = S_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$.
25	Математика НМТ (Алгебра — квадратне рівняння та теорема Вієта): запишіть теорему Вієта та розклад квадратного тричлена $ax^2 + bx + c$ на лінійні множники.	Для зведеного квадратного рівняння $x^2 + px + q = 0$ сума коренів $x_1 + x_2 = -p$, а добуток $x_1 \cdot x_2 = q$. Для загального рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ ($D = b^2 - 4ac \ge 0$): $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, а розклад має вигляд $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Вершина параболи: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
26	Математика НМТ (Вектори і координати у просторі): запишіть формули довжини вектора, скалярного добутку, кута між векторами, умов колінеарності та перпендикулярності векторів.	Для векторів $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ і $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$: довжина $\|\vec{a}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$; скалярний добуток $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cos \varphi$. Вектори перпендикулярні ($\vec{a} \perp \vec{b}$) $\iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Вектори колінеарні ($\vec{a} \parallel \vec{b}$) $\iff \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$. Координати середини відрізка $AB$: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.
27	Фізика НМТ (Магнітне поле, змінні струми та трансформатор): як визначається коефіцієнт трансформації трансформатора і які частинки є основними носіями струму в металах, електролітах, газах та напівпровідниках $n$- і $p$-типу?	Коефіцієнт трансформації: $k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2} \approx \frac{I_2}{I_1}$ (якщо $k > 1$ — трансформатор понижувальний, якщо $k < 1$ — підвищувальний). Носії струму: у металах — вільні електрони; у розчинах і розплавах електролітів — позитивні й негативні йони (катіони й аніони); у газах — електрони та позитивні й негативні йони; у напівпровідниках: власна провідність — електрони і «дірки»; донорні домішки (5-валентний $\text{P}, \text{As}$ у 4-валентному $\text{Si}$) дають електронну провідність ($n$-тип); акцепторні домішки (3-валентний $\text{B}, \text{In}, \text{Ga}$) — діркову провідність ($p$-тип).
28	Математика НМТ (Тригонометрія): запишіть основні тригонометричні тотожності, формули подвійного кута та табличні значення для $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$.	$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$; $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$; $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$; $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Подвійний кут: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$; $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$. Значення: $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$; $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$; $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 45^\circ = 1$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
29	Математика НМТ (Арифметична та геометрична прогресії): запишіть формули $n$-го члена, характеристичної властивості та суми перших $n$ членів для обох прогресій.	Арифметична прогресія: $a_n = a_1 + d(n - 1)$; $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$; $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$. Геометрична прогресія: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$; $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$; $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ($q \ne 1$). Сума нескінченної спадної геометричної прогресії ($\|q\| < 1$): $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
30	Математика НМТ (Планіметрія — чотирикутники та коло): за яких умов навколо чотирикутника можна описати коло і за яких — вписати в нього коло?	Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює $180^\circ$ ($\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$). У чотирикутник можна вписати коло тоді й лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні ($a + c = b + d$). У паралелограмі сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Площа ромба: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 = a^2 \sin \alpha = a h$; площа трапеції: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
31	Фізика НМТ (Динаміка	Другий закон Ньютона: $\vec{F}_{\text{рівн}} = m\vec{a}$. Закон Гука: $F_{\text{пруж}} = k \Delta x$ (при послідовному з'єднанні пружин $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$, при паралельному $k = k_1 + k_2$). Сила тертя ковзання: $F_{\text{тер}} = \mu N$ (на похилій площині з кутом $\alpha$: $N = mg \cos \alpha$). Сила Архімеда: $F_{\text{А}} = \rho_{\text{рід}} g V_{\text{зан}}$. Вага тіла: при русі з прискоренням $\vec{a}$ вгору $P = m(g + a)$ (перевантаження); при русі з прискоренням $\vec{a}$ вниз $P = m(g - a)$ (при $a = g$	сили в механіці): запишіть закони Ньютона, закон Гука, силу тертя ковзання, силу Архімеда та вагу тіла в ліфті, що рухається з прискоренням. — стан невагомості, $P = 0$).
32	Фізика НМТ (Механіка	Рівноприскорений рух: $v_x = v_{0x} + a_x t$; $x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$; формула без часу: $s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$ (гальмівний шлях до зупинки при $a = \mu g$: $s_{\text{гальм}} = \frac{v_0^2}{2\mu g}$	кінематика): запишіть рівняння руху й швидкості для рівноприскореного прямолінійного руху, гальмівного шляху та руху по колу. — пропорційний квадрату початкової швидкості!). Рівномірний рух по колу: період $T = \frac{1}{\nu} = \frac{2\pi}{\omega}$; лінійна швидкість $v = \omega R = \frac{2\pi R}{T}$; доцентрове прискорення $a_{\text{дц}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$.