Stúdentspróf í stærðfræði og náttúruvísindum — Diffrun, heildun, líkindareikningur, jarðfræði Íslands og eldvirkni

Stærðfræði og náttúruvísindi á stúdentsprófi: annars stigs jöfnur, logra- og veldisföll, hornaföll, diffrun, heildun, vigrar, fléttufræði, líkindareikningur og normaldreifing ásamt eðlis-, efna-, líf- og jarðfræði Íslands (flekaskil, möttulstrókur, basalt/rýólít, móberg, jökulhlaup og jarðhiti).

Level
advanced
Languages
is → is
Cards
32
Markdown
Stúdentspróf í stærðfræði og náttúruvísindum — Diffrun, heildun, líkindareikningur, jarðfræði Íslands og eldvirkni (.md)

Flashcards (32)

#Front (Term / Question)Back (Definition / Answer)ExampleMultiple-Choice Options
1Hver er jarðfræðileg sérstaða Íslands með tilliti til flekakenningarinnar og möttulstróks?Ísland liggur bæði á gliðnunarbelti Mið-Atlantshafshryggjarins — þar sem Norður-Ameríkuflekinn og Evrasíuflekinn reka í sundur um 2 sm á ári — og beint yfir heitum reit (möttulstrók undir Mið-Íslandi / Vatnajökli), sem skýrir mikla eldvirkni og hæð landsins yfir sjávarmáli.Samspil gliðnunar á Mið-Atlantshafshryggnum og möttulstróksins undir Vatnajökli gerir Ísland að eina stóra landsvæðinu á jörðinni þar sem úthafshryggur rís upp úr sjó.
  • Ísland liggur á samrekstrarbelti þar sem Afríkuflekinn gengur undir Evrasíuflekann.
  • Ísland liggur á miðjum óvirkum meginlandsfleka fjarri öllum flekaskilum.
  • Flekarnir undir Íslandi færast saman um 20 metra á hverju ári.
  • Ísland liggur bæði á gliðnunarbelti Mið-Atlantshafshryggjarins — þar sem Norður-Ameríkuflekinn og Evrasíuflekinn reka í sundur um 2 sm á ári — og beint yfir heitum reit (möttulstrók undir Mið-Íslandi / Vatnajökli), sem skýrir mikla eldvirkni og hæð landsins yfir sjávarmáli.
2Hvað segir regla Bayes um skilyrtar líkur P(A | B) og hvenær eru tveir atburðir A og B óháðir?Skilyrtar líkur eru P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(B | A)·P(A) / P(B) (þar sem P(B) > 0); tveir atburðir A og B eru óháðir þá og því aðeins að P(A ∩ B) = P(A)·P(B), sem jafngildir P(A | B) = P(A).Algeng gildra á stúdentsprófi er að rugla saman óháðum atburðum (P(A ∩ B) = P(A)P(B)) og sundurlægum atburðum (sem geta ekki gerst samtímis, P(A ∩ B) = 0).
  • Atburðir A og B eru óháðir ef og aðeins ef þeir eru sundurlægir (P(A ∩ B) = 0).
  • P(A | B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
  • Skilyrtar líkur geta tekið hvaða gildi sem er á bilinu −1 til 10.
  • Skilyrtar líkur eru P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(B | A)·P(A) / P(B) (þar sem P(B) > 0); tveir atburðir A og B eru óháðir þá og því aðeins að P(A ∩ B) = P(A)·P(B), sem jafngildir P(A | B) = P(A).
3Hvernig skiptist berggrunnur Íslands í fjóra aldursflokka frá elsta bergi á Vestfjörðum og Austfjörðum inn að núvirkum gosbeltum?Berggrunnurinn eldist samhverft út frá gosbeltunum: (1) Nútímaberg (yngra en 11.700 ára, í gosbeltunum), (2) Síðkvartert móbergsbelti (0,8–3,3 milljón ára, grágrýti og móberg), (3) Árkvartert / plíósen berg (0,8–3,3 milljón ára) og (4) Tertíert blágrýtismyndun (3,3–16 milljón ára á Vestfjörðum og Austfjörðum).Vegna landreksins (um 1 sm á ári til hvorrar áttar) rekur storknað hraun smám saman út frá gosbeltunum til vesturs og austurs; elsta berg á Íslandi er um 15–16 milljón ára gamalt (á Vestfjörðum og Austfjörðum).
  • Berggrunnurinn eldist samhverft út frá gosbeltunum: (1) Nútímaberg (yngra en 11.700 ára, í gosbeltunum), (2) Síðkvartert móbergsbelti (0,8–3,3 milljón ára, grágrýti og móberg), (3) Árkvartert / plíósen berg (0,8–3,3 milljón ára) og (4) Tertíert blágrýtismyndun (3,3–16 milljón ára á Vestfjörðum og Austfjörðum).
  • Elsta berg Íslands er í Reykjanesskaga og er um 4 milljarða ára gamalt.
  • Yngsta berg landsins er á ystu annesjum Vestfjarða og Austfjarða.
  • Allur berggrunnur Íslands myndaðist á sama degi fyrir 100.000 árum.
4Hvað segja fyrsta og annað lögmál Mendels í erfðafræði og hvaða arfgerðar- og svipgerðarhlutföll fást í einblendingskynblöndun Aa × Aa?1. lögmál (aðskilnaðarlögmálið): genasamsætur skiljast að við myndun kynfrumna; í kynblöndun tveggja arfblendinga Aa × Aa er arfgerðarhlutfallið 1 AA : 2 Aa : 1 aa (25% : 50% : 25%) og svipgerðarhlutfallið 3 : 1 (75% ríkjandi svipgerð : 25% víkjandi svipgerð).Í tvíblendingskynblöndun AaBb × AaBb (þar sem genin tvö erfast óháð hvort öðru samkvæmt 2. lögmáli Mendels) er svipgerðarhlutfallið 9 : 3 : 3 : 1.
  • Í kynblöndun Aa × Aa fá öll afkvæmin víkjandi svipgerð aa.
  • Svipgerðarhlutfallið í Aa × Aa við fullkomið ríkjandi gen er 1 : 1.
  • 1. lögmál (aðskilnaðarlögmálið): genasamsætur skiljast að við myndun kynfrumna; í kynblöndun tveggja arfblendinga Aa × Aa er arfgerðarhlutfallið 1 AA : 2 Aa : 1 aa (25% : 50% : 25%) og svipgerðarhlutfallið 3 : 1 (75% ríkjandi svipgerð : 25% víkjandi svipgerð).
  • 2. lögmál Mendels gildir eingöngu um gen sem liggja þétt saman á sama litningi.
5Hvernig leysist fyrsta stigs diffurjafna af gerðinni y' + k·y = 0 (þar sem k er fasti) og hvernig tengist hún helmingunartíma geislavirks efnis?Almenn lausn jöfnunnar y' + k·y = 0 (eða dy/dt = −k·y) er veldisfallið y(t) = y₀ · e^(−k·t), þar sem y₀ = y(0) er upphafsmagn; helmingunartíminn T_½ (tíminn þar til y(t) = ½·y₀) er T_½ = ln(2) / k.Veldisvöxtur (y' = k·y → y(t) = y₀·e^(kt)) og veldisrýrnun (geislavirk hrörnun, kæling samkvæmt lögmáli Newtons og niðurbrot lyfja í blóði) eru meðal mikilvægustu hagnýtinga stærðfræðigreiningar á stúdentsprófi.
  • Almenn lausn jöfnunnar y' + k·y = 0 er bein lína y(t) = y₀ − k·t.
  • Almenn lausn jöfnunnar y' + k·y = 0 (eða dy/dt = −k·y) er veldisfallið y(t) = y₀ · e^(−k·t), þar sem y₀ = y(0) er upphafsmagn; helmingunartíminn T_½ (tíminn þar til y(t) = ½·y₀) er T_½ = ln(2) / k.
  • Helmingunartíminn er T_½ = 2 / k og eftir tvo helmingunartíma er ekkert efni eftir.
  • Diffurjafnan y' = −k·y hefur lausnina y(t) = sin(k·t).
6Hverjar eru helstu reiknireglur logra (logarithma) fyrir margfeldi, kvóta og veldi þegar x, y > 0 og grunntalan a > 0, a ≠ 1?log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y), log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y), log_a(x^r) = r·log_a(x) og grunntöluskiptareglan er log_a(x) = ln(x) / ln(a).Náttúrulegi logrinn ln(x) hefur grunntöluna e ≈ 2,71828 (þar sem ln(1) = 0 og ln(e) = 1) og er andhverfa veldisfallsins f(x) = e^x.
  • log_a(x + y) = log_a(x) · log_a(y) og log_a(x^r) = (log_a(x))^r.
  • log_a(x·y) = log_a(x) · log_a(y) og log_a(1) = a.
  • log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y), log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y), log_a(x^r) = r·log_a(x) og grunntöluskiptareglan er log_a(x) = ln(x) / ln(a).
  • ln(e^x) = 1 fyrir öll gildi á x og ln(1) = e.
7Hverjar eru heildarjöfnur ljóstillífunar í grænukornum plantna og frumuöndunar í hvatberum?Ljóstillífun: 6 CO₂ + 6 H₂O + ljósorka → C₆H₁₂O₆ (glúkósi) + 6 O₂; loftháð frumuöndun (í umfrymi og hvatberum): C₆H₁₂O₆ + 6 O₂ → 6 CO₂ + 6 H₂O + efnaorka í formi ATP (um 30–32 ATP á hverja glúkósameind).Plöntufrumur stunda BÆÐI ljóstillífun (í grænukornum) og frumuöndun (í hvatberum), en dýra- og sveppafrumur stunda eingöngu frumuöndun.
  • Ljóstillífun fer fram í hvatberum og losar koldíoxíð út í andrúmsloftið.
  • Loftháð frumuöndun notar sólarljós til að breyta súrefni í glúkósa.
  • Ljóstillífun: 6 CO₂ + 6 H₂O + ljósorka → C₆H₁₂O₆ (glúkósi) + 6 O₂; loftháð frumuöndun (í umfrymi og hvatberum): C₆H₁₂O₆ + 6 O₂ → 6 CO₂ + 6 H₂O + efnaorka í formi ATP (um 30–32 ATP á hverja glúkósameind).
  • Frumuöndun á sér aðeins stað í dýrafrumum en aldrei í plöntufrumum.
8Hvað segir almenna gaslögmálið (PV = nRT) og meginregla Le Chateliers um efnajafnvægi?Í kjörgasi gildir P·V = n·R·T (þrýstingur · rúmmál = mólfjöldi · gasfasti · algildur hiti í kelvínum); samkvæmt reglu Le Chateliers bregst kerfi í efnajafnvægi við ytri röskun (breytingu á styrk, þrýstingi eða hita) með því að hliðra jafnvæginu í þá átt sem vinnur gegn röskuninni.Efnahvati lækkar virkjunarorku (E_a) bæði fram- og bakhvarfs jafnmikið þannig að jafnvægi næst hraðar, en hann breytir EKKI jafnvægisfastanum K.
  • Í kjörgasi gildir P·V = n·R·T (þrýstingur · rúmmál = mólfjöldi · gasfasti · algildur hiti í kelvínum); samkvæmt reglu Le Chateliers bregst kerfi í efnajafnvægi við ytri röskun (breytingu á styrk, þrýstingi eða hita) með því að hliðra jafnvæginu í þá átt sem vinnur gegn röskuninni.
  • Í almenna gaslögmálinu er hitastig T alltaf sett inn í gráðum á Celsíus (°C).
  • Aukinn þrýstingur á gashvarf hliðrar jafnvæginu alltaf til þeirrar hliðar sem hefur fleiri gasmól.
  • Efnahvati (katalýsator) breytir jafnvægisfastanum K og hliðrar efnajafnvæginu til hægri.
9Hver er munurinn á háhitasvæðum og lághitasvæðum á Íslandi samkvæmt jarðhitafræðilegri skilgreiningu?Á háhitasvæðum er hitastig jarðhitavatns á 1 km dýpi a.m.k. 200 °C (þau liggja öll innan virku gosbeltanna og tengjast kvikuhólfum, t.d. Hengill, Kröflu- og Reykjanessvæðið), en á lághitasvæðum er hitinn undir 150 °C á 1 km dýpi (liggja utan gosbeltanna, t.d. í Borgarfirði og á Suðurlandsundirlendi).Lághitasvæði eru einkum nýtt beint til húshitunar (hitaveitu), sundlauga og gróðurhúsa, en háhitasvæði eru nýtt bæði til raforkuvinnslu með gufuhverflum og til hitaveitu (t.d. á Hellisheiði, Nesjavöllum, Svartsengi og í Kröflu).
  • Á háhitasvæðum er hitastig jarðhitavatns á 1 km dýpi a.m.k. 200 °C (þau liggja öll innan virku gosbeltanna og tengjast kvikuhólfum, t.d. Hengill, Kröflu- og Reykjanessvæðið), en á lághitasvæðum er hitinn undir 150 °C á 1 km dýpi (liggja utan gosbeltanna, t.d. í Borgarfirði og á Suðurlandsundirlendi).
  • Háhitasvæði eru eingöngu á Vestfjörðum en lághitasvæði í miðju Vatnajökuls.
  • Á lághitasvæðum er hitinn á 1 km dýpi alltaf yfir 400 °C.
  • Lághitasvæði nýtast aldrei til húshitunar heldur eingöngu til álframleiðslu.
10Hvernig eru útgildi (staðbundið hágildi og lággildi) og beygjuskil falls f(x) fundin með fyrstu og annarri afleiðu?Í innri útgildispunkti diffranlegs falls er f'(x₀) = 0; ef f''(x₀) > 0 er staðbundið lággildi í x₀ (fallið er kúpt), ef f''(x₀) < 0 er staðbundið hágildi í x₀ (fallið er hvelft), og beygjuskil verða þar sem f''(x) = 0 og f''(x) skiptir um formerki.Á bili þar sem f'(x) > 0 er fallið strangt vaxandi og þar sem f'(x) < 0 er það strangt minnkandi; formerkjamynd af f'(x) og f''(x) gefur heildarmynd af lögun grafsins.
  • Staðbundið hágildi er alltaf þar sem f''(x₀) > 0 og f'(x₀) = 1.
  • Beygjuskil verða alltaf þar sem f(x) = 0.
  • Í innri útgildispunkti diffranlegs falls er f'(x₀) = 0; ef f''(x₀) > 0 er staðbundið lággildi í x₀ (fallið er kúpt), ef f''(x₀) < 0 er staðbundið hágildi í x₀ (fallið er hvelft), og beygjuskil verða þar sem f''(x) = 0 og f''(x) skiptir um formerki.
  • Ef f'(x) > 0 á bili þá er fallið minnkandi á bilinu.
11Hver er munurinn á oxun og afoxun í oxunar-afoxunarhvörfum (rafeindaflutningshvörfum) og hvað gerist við rafgreiningu súráls (Al₂O₃) í íslenskum álverum?Oxun er rafeindatap (oxunartala hækkar) en afoxun er rafeindaupptaka (oxunartala lækkar); við Hall-Héroult rafgreiningu súráls í bráðnu krýólíti við ~960 °C afoxast áljónir við bakskaut (Al³⁺ + 3e⁻ → Al) en kolefnisskaut oxast við forskaut.Orkufrekur iðnaður á Íslandi (álver í Straumsvík, á Grundartanga og í Reyðarfirði) nýtir innlenda vatns- og jarðvarmaorku til rafgreiningar súráls.
  • Oxun er rafeindaupptaka og afoxun er rafeindatap.
  • Í álverum er ál unnið með því að sjóða bauxít í vatni við 100 °C án rafstraums.
  • Oxun er rafeindatap (oxunartala hækkar) en afoxun er rafeindaupptaka (oxunartala lækkar); við Hall-Héroult rafgreiningu súráls í bráðnu krýólíti við ~960 °C afoxast áljónir við bakskaut (Al³⁺ + 3e⁻ → Al) en kolefnisskaut oxast við forskaut.
  • Við rafgreiningu súráls oxast Al³⁺ í hreint ál við forskautið.
12Hvað er jökulhlaup á Íslandi (t.d. úr Grímsvötnum eða Kötlu á Skeiðarársand og Mýrdalssand) og hvað veldur því?Jökulhlaup er skyndilegt stórflóð undan jökli sem stafar annaðhvort af eldgosi undir jökli (t.d. í Kötlu undir Mýrdalsjökli eða Gjálp í Vatnajökli) eða af stöðugum jarðhita sem safnar bræðsluvatni í jökulkatli (eins og í Grímsvötnum eða Skaftárkötlum) uns ísstíflan lyftist.Í Grímsvatnagosi og Gjálpargosi 1996 fór hámarksrennsli Skeiðarárhlaupisins upp í um 45.000–50.000 m³/s og í Kötluhlaupinu 1918 í allt að 300.000 m³/s.
  • Jökulhlaup stafar eingöngu af sumarregni á láglendi án nokkurra tengsla við jarðhita eða eldgos.
  • Jökulhlaup verða aðeins á Vestfjörðum þar sem engir virkir eldfjallajöklar eru.
  • Jökulhlaup bera aldrei með sér neitt aurburð eða ísjaka.
  • Jökulhlaup er skyndilegt stórflóð undan jökli sem stafar annaðhvort af eldgosi undir jökli (t.d. í Kötlu undir Mýrdalsjökli eða Gjálp í Vatnajökli) eða af stöðugum jarðhita sem safnar bræðsluvatni í jökulkatli (eins og í Grímsvötnum eða Skaftárkötlum) uns ísstíflan lyftist.
13Hvernig er innfeldi (depilfeldi) tveggja vigra a = (a₁, a₂) og b = (b₁, b₂) skilgreint og hvaða skilyrði gildir um hornrétta vigra?a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a|·|b|·cos(θ), þar sem θ er hornið á milli vigranna; tveir vigrar (sem eru ekki núllvigrar) eru hornréttir hvor á annan þá og því aðeins að innfeldi þeirra sé núll (a · b = 0).Úr formúlunni cos(θ) = (a · b) / (|a|·|b|) fæst hornið milli vigranna, þar sem lengd vigursins a er |a| = √(a₁² + a₂²).
  • Innfeldi tveggja vigra er nýr vigur sem stendur hornrétt á báða vigrana og er núll þegar þeir eru samsíða.
  • a · b = a₁b₂ − a₂b₁ og er núll þegar θ = 0°.
  • a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a|·|b|·cos(θ), þar sem θ er hornið á milli vigranna; tveir vigrar (sem eru ekki núllvigrar) eru hornréttir hvor á annan þá og því aðeins að innfeldi þeirra sé núll (a · b = 0).
  • |a| = a₁ + a₂ fyrir alla vigra í plani.
14Hver er skilgreiningin á afleiðu falls f'(x) í punktinum x með markgildi (diffurkvóta) og hver er rúmfræðileg merking hennar?f'(x) = lim_{h→0} (f(x + h) − f(x)) / h; rúmfræðilega er f'(x₀) hallatala snertils við graf fallsins y = f(x) í punktinum (x₀, f(x₀)), og jafna snertilsins er y − f(x₀) = f'(x₀)·(x − x₀).Ef fall er diffranlegt í punkti x₀ þá er það einnig samfellt í x₀ (en samfelldni ein og sér tryggir ekki diffranleika, sbr. f(x) = |x| í x = 0).
  • f'(x) er flatarmálið undir grafi fallsins frá 0 til x.
  • f'(x) = lim_{h→0} (f(x + h) − f(x)) / h; rúmfræðilega er f'(x₀) hallatala snertils við graf fallsins y = f(x) í punktinum (x₀, f(x₀)), og jafna snertilsins er y − f(x₀) = f'(x₀)·(x − x₀).
  • f'(x) = lim_{h→0} (f(x) + f(h)) / h og táknar skurðpunkt við y-ás.
  • Afleiða falls er alltaf jöfn núlli í öllum punktum þar sem fallið er samfellt.
15Hvernig hafa loftslagsbreytingar áhrif á íslenska jökla (t.d. Vatnajökul, Langjökul, Hofsjökul og Ok) og landris á Íslandi?Hækkandi lofthiti veldur hraðri hopun og rýrnun allra íslenskra jökla (Ok missti stöðu sína sem jökull árið 2014); þegar farg jöklanna léttist á jarðskorpunni rís landið hratt (fargléttingarlandris, allt að 3–4 sm á ári við Vatnajökul) sem jafnframt getur aukið kvikumyndun í möttlinum.Vatnajökull er stærsti jökull Evrópu að rúmmáli (~7.700 km²), en rannsóknir Jarðvísindastofnunar HÍ og Veðurstofunnar sýna að farglétting vegna bráðnunar hans veldur mælanlegu landrisi og breytir spennusviði jarðskorpunnar.
  • Íslenskir jöklar hafa stækkað jafnt og þétt frá árinu 1995 og land sígur um 10 sm á ári.
  • Hopun jökla hefur engin áhrif á jarðskorpuna eða rennsli jökuláa.
  • Hækkandi lofthiti veldur hraðri hopun og rýrnun allra íslenskra jökla (Ok missti stöðu sína sem jökull árið 2014); þegar farg jöklanna léttist á jarðskorpunni rís landið hratt (fargléttingarlandris, allt að 3–4 sm á ári við Vatnajökul) sem jafnframt getur aukið kvikumyndun í möttlinum.
  • Okjökull er stærsti jökull Evrópu og þekur 8.000 km².
16Hver er hornafallareglan (Pýþagórasarregla hornafalla), tvöföldunarformúlur fyrir sin(2x) og cos(2x), og kósínusreglan í hvaða þríhyrningi sem er?sin²(x) + cos²(x) = 1; sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x) og cos(2x) = cos²(x) − sin²(x); kósínusreglan fyrir þríhyrning með hliðar a, b, c og hornið C á móti hlið c er c² = a² + b² − 2ab·cos(C).Ásamt sínusreglunni (a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R) eru þessar reglur grunnstoð hornafræði og vigurreiknings á stúdentsprófi.
  • sin²(x) − cos²(x) = 1 og sin(2x) = 2·sin(x).
  • c² = a² + b² + 2ab·sin(C) fyrir alla þríhyrninga.
  • tan(x) = cos(x) / sin(x) og cos(0) = 0.
  • sin²(x) + cos²(x) = 1; sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x) og cos(2x) = cos²(x) − sin²(x); kósínusreglan fyrir þríhyrning með hliðar a, b, c og hornið C á móti hlið c er c² = a² + b² − 2ab·cos(C).
17Hver er munurinn á umröðun (röðun) og samantekt (tvíliðustuðli) í fléttufræði, og hver er formúla tvíliðudreifingar?Í umröðun skiptir röðin máli: P(n, k) = n! / (n − k)!; í samantekt skiptir röðin ekki máli: C(n, k) = (n yfir k) = n! / (k!·(n − k)!); í tvíliðudreifingu með n óháðum tilraunum og happalíkum p eru líkurnar á nákvæmlega k höppum P(X = k) = (n yfir k) · p^k · (1 − p)^(n−k).Mundu að 0! = 1; í tvíliðudreifingu X ~ Bin(n, p) er væntigildið (meðaltalið) E(X) = n·p og dreifnin Var(X) = n·p·(1 − p).
  • Í samantekt C(n, k) skiptir röðin öllu máli og C(n, k) = n^k.
  • Í umröðun skiptir röðin máli: P(n, k) = n! / (n − k)!; í samantekt skiptir röðin ekki máli: C(n, k) = (n yfir k) = n! / (k!·(n − k)!); í tvíliðudreifingu með n óháðum tilraunum og happalíkum p eru líkurnar á nákvæmlega k höppum P(X = k) = (n yfir k) · p^k · (1 − p)^(n−k).
  • Líkurnar í tvíliðudreifingu eru P(X = k) = n · p · k.
  • 0! (núll hrópmerkt) er skilgreint sem 0.
18Hverjar eru margföldunarreglan, deilingarreglan og keðjureglan við diffrun tveggja diffranlegra falla u(x) og v(x)?Margföldunarregla: (u·v)' = u'·v + u·v'; deilingarregla: (u/v)' = (u'·v − u·v') / v²; keðjuregla fyrir samsett fall f(g(x)): (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).Til dæmis gefur keðjureglan fyrir f(x) = e^(3x²) afleiðuna f'(x) = e^(3x²) · 6x, og fyrir h(x) = ln(g(x)) fæst h'(x) = g'(x) / g(x).
  • Margföldunarregla: (u·v)' = u'·v + u·v'; deilingarregla: (u/v)' = (u'·v − u·v') / v²; keðjuregla fyrir samsett fall f(g(x)): (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
  • Margföldunarregla: (u·v)' = u'·v' og deilingarregla: (u/v)' = u'/v'.
  • Keðjuregla: (f(g(x)))' = f'(x) + g'(x).
  • Deilingarregla: (u/v)' = (u·v' − u'·v) / v.
19Hverjar eru þrjár aðalgerðir storkubergs á Íslandi (eftir kísilsýruinnihaldi SiO₂) og hverjar eru samsvarandi djúpbergsgerðir þeirra?(1) Basalt (basískt gosberg, ~45–52% SiO₂, dökkt og þunnfljótandi) — djúpberg: gabbró; (2) Andesít / íslandít (milliberg, ~52–63% SiO₂); (3) Rýólít / líparít (súrt gosberg, >63% SiO₂, ljóst og seigfljótandi) — djúpberg: granófýr / granít.Um 80–85% af gosbergi Íslands er basalt, um 10% er milliberg (íslandít, nefnt eftir Þorvaldi Thoroddsen og Jack Carmichael við Þingmúla) og um 10% er súrt rýólít (t.d. í Landmannalaugum).
  • Basalt er súrt og ljóst berg með yfir 75% SiO₂ en rýólít er kolsvart og basískt.
  • (1) Basalt (basískt gosberg, ~45–52% SiO₂, dökkt og þunnfljótandi) — djúpberg: gabbró; (2) Andesít / íslandít (milliberg, ~52–63% SiO₂); (3) Rýólít / líparít (súrt gosberg, >63% SiO₂, ljóst og seigfljótandi) — djúpberg: granófýr / granít.
  • Gabbró er setberg sem myndast í jökulám og rýólít er myndbreytt kalksteinsberg.
  • Allt gosberg á Íslandi er 100% hreint kvars án nokkurs basalts.
20Hvað segir lögmál Ohms (U = R·I) og formúlan fyrir rafafl (P = U·I) í jafnstraumsrás, og hvernig reiknast heildarviðnám í raðtengingu og hliðtengingu?Spenna U = R·I og afl P = U·I = I²·R = U²/R; í raðtengingu er R_heild = R₁ + R₂ + … (sami straumur I fer um öll viðnám), en í hliðtengingu er 1/R_heild = 1/R₁ + 1/R₂ + … (sama spenna U er yfir öll viðnám).Ef tvö 6 Ω viðnám eru raðtengd er R_heild = 12 Ω, en ef þau eru hliðtengd er 1/R_heild = 1/6 + 1/6 = 2/6, svo R_heild = 3 Ω.
  • Í raðtengingu minnkar heildarviðnámið alltaf þegar nýju viðnámi er bætt við.
  • Spenna U = R·I og afl P = U·I = I²·R = U²/R; í raðtengingu er R_heild = R₁ + R₂ + … (sami straumur I fer um öll viðnám), en í hliðtengingu er 1/R_heild = 1/R₁ + 1/R₂ + … (sama spenna U er yfir öll viðnám).
  • Í hliðtengingu er R_heild = R₁ + R₂ og spennan skiptist á milli viðnámanna.
  • Lögmál Ohms segir að I = U · R og afl er P = R / I.
21Hvert er meginflæði erfðaupplýsinga í frumu (DNA → mRNA → prótein) og hver er munurinn á umritun og þýðingu?Í umritun (í frumukjarna) les ensímið RNA-fjölliðasi DNA-sniðþráð og myndar mRNA (þar sem úrasíl U kemur í stað týmíns T); í þýðingu (á ríbósómum í umfrymi) lesa tRNA-sameindir þriggja basa táknraðir (tákna) á mRNA og tengja saman amínósýrur í fjölpeptíðkeðju.Basapörun í DNA er A–T (tvö vetnistengi) og G–C (þrjú vetnistengi), en við umritun í RNA parast A á DNA við U (úrasíl) á RNA.
  • Umritun fer fram á ríbósómum og breytir próteinum í DNA.
  • Í umritun (í frumukjarna) les ensímið RNA-fjölliðasi DNA-sniðþráð og myndar mRNA (þar sem úrasíl U kemur í stað týmíns T); í þýðingu (á ríbósómum í umfrymi) lesa tRNA-sameindir þriggja basa táknraðir (tákna) á mRNA og tengja saman amínósýrur í fjölpeptíðkeðju.
  • Í DNA parast adenín (A) alltaf við gúanín (G) og sýtósín (C) við týmín (T).
  • Hver tákni á mRNA samanstendur af tíu niturbösum sem tákna eina fitusýru.
22Hvað einkennir normaldreifingu N(μ, σ²), hvernig er staðalnormalbreytan Z reiknuð og hvað segir 68–95–99,7% reglan?Normaldreifing er samhverf bjöllulaga dreifing um meðaltalið μ með staðalfrávik σ; staðlaða breytan er Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1), og um 68,3% gilda lenda innan μ ± 1σ, um 95,4% innan μ ± 2σ og um 99,7% innan μ ± 3σ.Í tölfræði á stúdentsprófi er Z-staðalnormaltafla notuð til að finna líkur og öryggisbil (t.d. 95% öryggisbil fyrir meðaltal: x̄ ± 1,96 · σ/√n).
  • Í normaldreifingu lenda 50% allra gilda utan við μ ± 3σ.
  • Staðlaða breytan er Z = (X + σ) / μ.
  • Normaldreifing er samhverf bjöllulaga dreifing um meðaltalið μ með staðalfrávik σ; staðlaða breytan er Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1), og um 68,3% gilda lenda innan μ ± 1σ, um 95,4% innan μ ± 2σ og um 99,7% innan μ ± 3σ.
  • Normaldreifing er eingöngu skilgreind fyrir strjálar heiltölur.
23Hvað er sýrustig (pH) vatnslausnar í efnafræði og hvaða efnahvörf valda súrnun sjávar í hafinu umhverfis Ísland?pH = −log₁₀[H₃O⁺] (þar sem pH = 7 er hlutlaust við 25 °C, pH < 7 er súrt og pH > 7 er basískt); súrnun sjávar stafar af upptöku koldíoxíðs úr andrúmslofti: CO₂ + H₂O ⇌ H₂CO₃ ⇌ H⁺ + HCO₃⁻, sem fjölgar H⁺ jónum og dregur úr styrk karbónatjóna (CO₃²⁻) sem kalkmyndandi lífverur þurfa.Þar sem pH-kvarðinn er lograkvarði með grunntölu 10 þýðir lækkun um 1 pH-einingu tíuföldun á styrk [H₃O⁺], og lækkun um 0,1 pH-einingu jafngildir um 26% aukningu á sýrustyrk.
  • pH = log₁₀[OH⁻] og þegar pH lækkar úr 8 í 7 verður lausnin tíu sinnum basískari.
  • Súrnun sjávar hækkar pH-gildi sjávar úr 8,1 upp í 10,5.
  • pH = −log₁₀[H₃O⁺] (þar sem pH = 7 er hlutlaust við 25 °C, pH < 7 er súrt og pH > 7 er basískt); súrnun sjávar stafar af upptöku koldíoxíðs úr andrúmslofti: CO₂ + H₂O ⇌ H₂CO₃ ⇌ H⁺ + HCO₃⁻, sem fjölgar H⁺ jónum og dregur úr styrk karbónatjóna (CO₃²⁻) sem kalkmyndandi lífverur þurfa.
  • Upptaka CO₂ í sjó eykur magn karbónatjóna og styrkir skeljar kræklinga og kórala.
24Hvaða sérstöku áskorunum stendur íslenskt vistkerfi frammi fyrir varðandi jarðvegseyðingu, rof á eldfjallajarðvegi (sortujörð / andosol) og landgræðslu?Íslenskur eldfjallajarðvegur (andosol) er afar frjósamur en laus í sér og viðkvæmur fyrir vatns- og vindrofi ef gróðurþekja rofnar (vegna skógareyðingar frá landnámi, ofbeitar og eldgosa); Landgræðslan og Skógræktin vinna gegn uppblæstri með melgresi, lúpínu, birki og endurheimt votlendis.Við landnám var talið að um 25–40% Íslands hafi verið klætt birkiskógi og kjarri, en vegna skógarhöggs, beitar og kólnandi veðurfars rýrnaði skóglendið niður í um 1% á 20. öld.
  • Íslenskur jarðvegur er úr föstu graníti sem getur aldrei fokið eða rofnað í vatni.
  • Íslenskur eldfjallajarðvegur (andosol) er afar frjósamur en laus í sér og viðkvæmur fyrir vatns- og vindrofi ef gróðurþekja rofnar (vegna skógareyðingar frá landnámi, ofbeitar og eldgosa); Landgræðslan og Skógræktin vinna gegn uppblæstri með melgresi, lúpínu, birki og endurheimt votlendis.
  • Skógareyðing hefur aldrei átt sér stað á Íslandi og 80% landsins eru þakin frumskógi.
  • Eldfjallaaska kemur í veg fyrir allt rof á hálendi Íslands.
25Hver er lausnarformúla annars stigs jöfnu ax² + bx + c = 0 (þar sem a ≠ 0) og hvernig ræður aðgreinirinn D = b² − 4ac fjölda rauntölulausna?Lausnarformúlan er x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a); ef D > 0 eru tvær ólíkar rauntölulausnir, ef D = 0 er ein tvöföld rauntölulausn (x = −b/(2a)) og ef D < 0 er engin rauntölulausn (heldur tvær samoka tvinntölulausnir).Aðgreinirinn D = b² − 4ac segir einnig til um skurðpunkta fleygbogans y = ax² + bx + c við x-ásinn í hnitakerfinu.
  • Lausnarformúlan er x = (b ± √(b² + 4ac)) / a og jafnan hefur alltaf tvær rauntölulausnir.
  • Ef D < 0 hefur jafnan fjórar ólíkar rauntölulausnir.
  • Aðgreinirinn er D = 2a − b og ef D = 0 er engin lausn til.
  • Lausnarformúlan er x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a); ef D > 0 eru tvær ólíkar rauntölulausnir, ef D = 0 er ein tvöföld rauntölulausn (x = −b/(2a)) og ef D < 0 er engin rauntölulausn (heldur tvær samoka tvinntölulausnir).
26Hver eru þrjú lögmál Newtons í sígildri aflfræði og hvernig er varðveisla skriðþunga (p = m·v) leidd af þeim?(1) Tregðulögmál (hlutur heldur jöfnum hraða í beinni línu ef heildarkraftur F_heild = 0), (2) F_heild = m·a = dp/dt, og (3) Víxlverkunarlögmál (átak er jafnt gagnátaki í gagnstæða átt, F_AB = −F_BA); í einangruðu kerfi án ytri krafta helst heildarskriðþungi p = Σ m_i·v_i óbreyttur.Í öllum árekstrum í einangruðu kerfi varðveitist heildarskriðþungi, en hreyfiorka (E_k = ½mv²) varðveitist aðeins að fullu í fullkomlega fjaðrandi árekstri.
  • (1) Tregðulögmál (hlutur heldur jöfnum hraða í beinni línu ef heildarkraftur F_heild = 0), (2) F_heild = m·a = dp/dt, og (3) Víxlverkunarlögmál (átak er jafnt gagnátaki í gagnstæða átt, F_AB = −F_BA); í einangruðu kerfi án ytri krafta helst heildarskriðþungi p = Σ m_i·v_i óbreyttur.
  • Samkvæmt 2. lögmáli Newtons er kraftur jafn massa deilt með hröðun (F = m / a).
  • Átak og gagnátak í 3. lögmáli Newtons verka alltaf á sama hlutinn og núllast því út.
  • Skriðþungi varðveitist aðeins í algjörlega ófjaðrandi árekstrum en ekki í fjaðrandi árekstrum.
27Hvernig er markgildi falls lim_{x→a} f(x) reiknað þegar bein innsetning gefur óákvarðaða stærð af gerðinni 0/0?Með algebrulegri þáttun og styttingu (t.d. x² − a² = (x − a)(x + a)), með lengingu með samokastærð þegar kvaðratrætur koma fyrir, eða með reglu L'Hôpitals: lim_{x→a} f(x)/g(x) = lim_{x→a} f'(x)/g'(x).Dæmi: lim_{x→3} (x² − 9)/(x − 3) = lim_{x→3} (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = 3 + 3 = 6 (eða með reglu L'Hôpitals: lim_{x→3} (2x)/1 = 6).
  • Stærð af gerðinni 0/0 er alltaf jöfn 0 án frekari útreikninga.
  • Stærð af gerðinni 0/0 er alltaf jöfn 1 óháð föllunum f(x) og g(x).
  • Regla L'Hôpitals segir að lim f(x)/g(x) sé jafnt margfeldinu f'(x)·g'(x).
  • Með algebrulegri þáttun og styttingu (t.d. x² − a² = (x − a)(x + a)), með lengingu með samokastærð þegar kvaðratrætur koma fyrir, eða með reglu L'Hôpitals: lim_{x→a} f(x)/g(x) = lim_{x→a} f'(x)/g'(x).
28Hvað er móberg (palagónít) og stapafjall (stapi, t.d. Herðubreið og Eiríksjökull) og hvernig myndast þau?Móberg myndast við gos undir jökli (eða í sjó) þegar bráðin basaltkvika snöggkólnar í vatni í gjósku og bólstraberg sem síðar ummyndast í móberg; ef gosið nær upp úr jökulvatninu leggst hraunhetta ofan á og myndar brattan stapa (eins og Herðubreið).Munurinn á dyngju (t.d. Skjaldbreiður — flatt skjaldarlaga fjall úr þunnfljótandi basalthrauni á íslausu landi) og stapa (t.d. Herðubreið — gosi undir ísaldarjökli) er klassísk spurning í jarðfræði á stúdentsprófi.
  • Móberg myndast eingöngu í þurrum eyðimörkum án nærveru vatns eða íss.
  • Móberg myndast við gos undir jökli (eða í sjó) þegar bráðin basaltkvika snöggkólnar í vatni í gjósku og bólstraberg sem síðar ummyndast í móberg; ef gosið nær upp úr jökulvatninu leggst hraunhetta ofan á og myndar brattan stapa (eins og Herðubreið).
  • Stapi myndast þegar vindur blæs sandi saman í hól á láglendi.
  • Herðubreið er dyngja sem myndaðist við þunnfljótandi hraungos án jökuls.
29Hver er munurinn á flæðigosi (hraungosi, t.d. við Fagradalsfjall og Sundhnúksgígaröðina á Reykjanesskaga) og þeytigosi (sprengigosi, t.d. í Eyjafjallajökli 2010 og Grímsvötnum 2011)?Í flæðigosi kemur þunnfljótandi, gaslítil basaltkvika upp á þurru landi (oft á gossprungu) og myndar hraunstrauma með lítilli öskumyndun; í þeytigosi veldur annaðhvort samskipti kviku við vatn/jökulís eða gasrík seigfljótandi kvika sprengivirkni og háum gosmekki úr gjósku og ösku.Eldgosin á Reykjanesskaga (Fagradalsfjall 2021–2023 og Sundhnúksgígaröðin 2023–2025) eru dæmigerð basaltflæðigos á sprungusveimum, ólíkt jökulgosunum í Eyjafjallajökli (2010) og Grímsvötnum (2011).
  • Flæðigos myndar eingöngu öskuský í 15 km hæð án nokkurs hraunrennslis.
  • Í flæðigosi kemur þunnfljótandi, gaslítil basaltkvika upp á þurru landi (oft á gossprungu) og myndar hraunstrauma með lítilli öskumyndun; í þeytigosi veldur annaðhvort samskipti kviku við vatn/jökulís eða gasrík seigfljótandi kvika sprengivirkni og háum gosmekki úr gjósku og ösku.
  • Þeytigos verða aðeins þegar enginn ís og ekkert gas er í kvikunni.
  • Gos á Reykjanesskaga 2021–2024 voru öll súr rýólítsprengigos undir jökli.
30Hvað segir undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar um tengslin milli diffrunar og ákveðins heildis, og hvert er óákveðið heildi ∫ x^n dx (n ≠ −1) og ∫ (1/x) dx?Ef F(x) er stofnfall samfellds falls f(x) á [a, b] (þ.e. F'(x) = f(x)), þá er ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a); jafnframt er ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (fyrir n ≠ −1) og ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.Undirstöðusetningin tengir saman hallatölu snertils (afleiðu) og flatarmál undir ferli (ákveðið heildi); þegar rúmmál snúðs um x-ás er reiknað gildir V = π · ∫_a^b (f(x))² dx.
  • ∫_a^b f(x) dx = f'(b) − f'(a) og ∫ (1/x) dx = −1/x² + C.
  • Ef F(x) er stofnfall samfellds falls f(x) á [a, b] (þ.e. F'(x) = f(x)), þá er ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a); jafnframt er ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (fyrir n ≠ −1) og ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
  • ∫ x^n dx = n·x^(n−1) + C fyrir öll n.
  • Ákveðið heildi er alltaf neikvætt fyrir jákvæð föll.
31Hver er meginmunurinn á mítósu (jafnskiptingu) og meiósu (rýrisskiptingu) í frumulíffræði og erfðafræði?Mítósa skiptir tvílitna líkamsfrumu (2n) í tvær erfðafræðilega eins tvílitna dótturfrumur (2n) til vaxtar og viðhalds; meiósa skiptir kynmóðurfrumu (2n) í tveimur skiptingum í fjórar erfðafræðilega ólíkar einlitna kynfrumur (n) með víxlun (litningavíxl) og óháðri röðun litninga.Hjá manninum er 2n = 46 (23 litningapör) í líkamsfrumum en n = 23 í kynfrumum (eggi og sáðfrumu) eftir meiósu.
  • Mítósa myndar fjórar einlitna kynfrumur en meiósa myndar tvær eins húðfrumur.
  • Hjá manninum hafa líkamsfrumur 23 litninga en kynfrumur 46 litninga.
  • Víxlun samstæðra litninga á sér eingöngu stað í mítósu.
  • Mítósa skiptir tvílitna líkamsfrumu (2n) í tvær erfðafræðilega eins tvílitna dótturfrumur (2n) til vaxtar og viðhalds; meiósa skiptir kynmóðurfrumu (2n) í tveimur skiptingum í fjórar erfðafræðilega ólíkar einlitna kynfrumur (n) með víxlun (litningavíxl) og óháðri röðun litninga.
32Hvernig er raforka framleidd á Íslandi og hvaða tvær endurnýjanlegar orkulindir standa undir nær 100% raforkuframleiðslu landsins?Vatnsorka (fallvötn í vatnsaflsvirkjunum, um 70% raforkunnar, t.d. Kárahnjúkavirkjun og Búrfellsvirkjun) og jarðvarmi (gufuaflsvirkjanir á háhitasvæðum, um 30% raforkunnar, t.d. Hellisheiðarvirkjun).Í vatnsaflsvirkjun breytist stöðuorka vatns í hreyfiorku í fallpípum sem snýr hverfli og rafala (rafsegulspan), en í jarðhitavirkjun knýr háþrýstigufa hverfilinn.
  • Kola- og kjarnorkuver framleiða 90% allrar raforku á Íslandi.
  • Jarðgas og olía standa undir 85% af húshitun og rafmagni á Íslandi.
  • Sólarorkuver á hálendinu framleiða 95% raforkunnar að vetrarlagi.
  • Vatnsorka (fallvötn í vatnsaflsvirkjunum, um 70% raforkunnar, t.d. Kárahnjúkavirkjun og Búrfellsvirkjun) og jarðvarmi (gufuaflsvirkjanir á háhitasvæðum, um 30% raforkunnar, t.d. Hellisheiðarvirkjun).