Deux engrenages comptent respectivement $84$ dents et $126$ dents. Quel est leur $\text{PGCD}(84, 126)$, leur $\text{PPCM}(84, 126)$ et combien de tours complets chacun doit-il effectuer au minimum pour revenir simultanément à sa position initiale ?

$\text{PGCD}(84, 126) = 42$ et $\text{PPCM}(84, 126) = 252$ ; le premier engrenage effectue $3$ tours et le second $2$ tours — $\text{PGCD}(84, 126) = 42$ et $\text{PPCM}(84, 126) = \frac{84 \times 126}{42} = 252$ dents ; le premier engrenage fait $252 / 84 = 3$ tours et le second $252 / 126 = 2$ tours.

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1 ; 2)$ et $B(5 ; -1)$. Quelle est la distance $AB$ et quelle est l'équation réduite de la droite $(AB)$ ?

$AB = 5$ et $y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$ — $AB = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ et l'équation réduite de $(AB)$ est $y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$.

Quelle masse de chlorure de sodium ($\text{NaCl}$, en grammes) et de glucose (en grammes) contiennent respectivement un flacon de $500\text{ mL}$ de sérum physiologique ($\text{NaCl } 0{,}9\%$) et une poche de $1\,000\text{ mL}$ de soluté glucosé isotonique ($\text{G5\%}$) ?

$4{,}5\text{ g}$ de $\text{NaCl}$ dans $500\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$ et $50\text{ g}$ de glucose dans $1\,000\text{ mL}$ de $\text{G5\%}$ — $4{,}5\text{ g}$ de $\text{NaCl}$ et $50\text{ g}$ de glucose.

Selon la classification de Gérard Vergnaud pour le champ conceptuel des structures multiplicatives, quelles sont les trois grandes catégories de problèmes multiplicatifs à une seule relation de proportionnalité simple ?

1. Multiplication (recherche de la valeur totale pour $n$ parts connaissant la valeur d'une part) ; 2. Division-partition (recherche de la valeur d'une part connaissant le total et le nombre de parts) ; 3. Division-quotition (recherche du nombre de parts connaissant le total et la valeur d'une part) — Dans un tableau de proportionnalité simple avec présence de l'unité, Vergnaud distingue : la multiplication, la division-partition (partage équitable : recherche de la valeur d'une part) et la division-quotition (groupement : recherche du nombre de parts).

Un capital de $10\,000\text{ €}$ est placé à intérêts composés au taux annuel de $4\%$. Quelle est sa valeur acquise au bout de $2$ ans, et de combien dépasse-t-elle la valeur acquise à intérêts simples au même taux sur $2$ ans ?

Valeur acquise à intérêts composés : $10\,816\text{ €}$, soit $16\text{ €}$ de plus qu'à intérêts simples ($10\,800\text{ €}$) — $C_2 = 10\,000 \times (1{,}04)^2 = 10\,816\text{ €}$, soit $16\text{ €}$ de plus que la valeur acquise à intérêts simples ($10\,000 \times (1 + 2 \times 0{,}04) = 10\,800\text{ €}$).

En didactique des mathématiques au CRPE (classification de Gérard Vergnaud pour les problèmes additifs et soustractifs), comment qualifie-t-on le problème : « Léo avait des billes. Il en gagne 12 à la récréation et en possède maintenant 31. Combien en avait-il avant la récréation ? » ?

Transformation d'états avec recherche de l'état initial ($E_i$) connaissant la transformation positive ($T^+$) et l'état final ($E_f$) — Il s'agit d'un problème de transformation d'états avec recherche de l'état initial ($E_i$) connaissant une transformation positive ($+12$) et l'état final ($31$).

En calculs de doses infirmiers (sélection IFSI et pratique clinique), quelle est la norme réglementaire de correspondance entre millilitres ($\text{mL}$) et gouttes ($\text{gttes}$) pour un perfuseur standard de soluté aqueux et pour un transfuseur de sang ?

$1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$ pour un soluté standard (macro-perfuseur), $1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$ pour le sang et ses dérivés (transfuseur), et $1\text{ mL} = 60\text{ microgouttes}$ en pédiatrie — $1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$ pour un soluté standard, $1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$ pour une transfusion sanguine (sang/culot globulaire) et $1\text{ mL} = 60\text{ microgouttes}$ pour un perfuseur de précision pédiatrique.

Un flacon de poudre d'antibiotique injectable de $1\text{ g}$ est reconstitué avec $4\text{ mL}$ d'eau pour préparation injectable (EPPI). On doit injecter $350\text{ mg}$ de cet antibiotique. Quel volume exact faut-il prélever (en négligeant l'expansion volumique) ?

$1{,}4\text{ mL}$ (car $1\text{ g} = 1\,000\text{ mg}$ dans $4\text{ mL}$, soit $250\text{ mg/mL}$, et $350 / 250 = 1{,}4\text{ mL}$).

Quelles sont les conditions d'éligibilité et la structure des épreuves de la sélection IFSI par la voie de la Formation Professionnelle Continue (FPC) ?

Justifier de 3 ans de cotisation à un régime de protection sociale en France à la date d'inscription ; réussir une épreuve orale d'entretien (20 min, notée sur 20) et une épreuve écrite d'une heure (notée sur 20 : sous-épreuve de rédaction/compréhension en français sur 10 pts + sous-épreuve de calculs simples sur 10 pts), avec un total $\ge 20/40$ sans note $< 8/20$ — Justifier de 3 ans de cotisation à un régime de protection sociale en France et valider deux épreuves (entretien oral de 20 min noté sur 20 + épreuve écrite d'une heure notée sur 20 comprenant 10 pts de français et 10 pts de calculs simples), avec au moins $20/40$ au total et aucune des deux notes inférieure à $8/20$.

Un test de dépistage médical concerne une maladie qui touche $1\%$ d'une population ($P(M) = 0{,}01$). La sensibilité du test est de $95\%$ ($P_M(T) = 0{,}95$) et sa spécificité est de $90\%$ ($P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$). Quelle est la probabilité totale $P(T)$ que le test soit positif ?

$0{,}1085$ (soit $10{,}85\%$) — $P(T) = 0{,}1085$ (soit $10{,}85\%$), d'après la formule des probabilités totales : $P(T) = P(M)P_M(T) + P(\overline{M})P_{\overline{M}}(T) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}10 = 0{,}0095 + 0{,}0990 = 0{,}1085$.

Un médecin prescrit une perfusion de $1{,}5\text{ L}$ de sérum glucosé à $5\%$ ($\text{G5\%}$) à passer en $12\text{ heures}$. Quel est le débit en $\text{mL/h}$, et quel est le débit de perfusion en $\text{gouttes/min}$ (arrondi à l'entier le plus proche, avec $1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$) ?

$125\text{ mL/h}$ et $42\text{ gouttes/min}$ (car $\frac{1\,500\text{ mL} \times 20\text{ gttes/mL}}{12 \times 60\text{ min}} = \frac{30\,000}{720} \approx 41{,}67 \rightarrow 42\text{ gouttes/min}$).

On doit ajouter $4\text{ g}$ de chlorure de potassium ($\text{KCl}$) dans une poche de perfusion à partir d'ampoules de $10\text{ mL}$ dosées à $10\%$ de $\text{KCl}$. Quel volume (et combien d'ampoules) faut-il prélever ?

$40\text{ mL}$, soit $4$ ampoules de $10\text{ mL}$.

Au concours du CRPE (épreuve écrite de mathématiques), quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $2\,520$ et quel est le nombre total de ses diviseurs positifs ?

$2\,520 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ et il possède $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48$ diviseurs positifs — $2\,520 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ ; le nombre de ses diviseurs positifs est $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48$.

Un article subit une hausse de prix de $25\%$, suivie d'une remise promotionnelle de $20\%$. Quelle est l'évolution globale en pourcentage ?

Une évolution globale nulle ($0\%$), car le coefficient multiplicateur global vaut $1{,}25 \times 0{,}80 = 1{,}00$ — Une évolution globale nulle ($0\%$), car $CM_{\text{global}} = 1{,}25 \times 0{,}80 = \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1$.

Quelles sont les solutions réelles de l'équation $(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = 0$ ?

$x = 4$ et $x = \frac{2}{3}$, obtenues en factorisant par l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ : $((2x - 3) - (x + 1))((2x - 3) + (x + 1)) = (x - 4)(3x - 2) = 0$.

Dans une série statistique de notes d'élèves : $\{7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 19\}$, quelles sont la moyenne arithmétique $\bar{x}$, la médiane $Me$ et l'étendue $E$ ?

Moyenne $\bar{x} = 12$, médiane $Me = 12$ et étendue $E = 12$ — Moyenne $\bar{x} = \frac{108}{9} = 12$, médiane $Me = 12$ ($5^\text{e}$ valeur de la série ordonnée de $N = 9$ valeurs) et étendue $E = 19 - 7 = 12$.

Dans une maquette d'architecte réalisée à l'échelle $1/50$, un bassin a un volume de $160\text{ cm}^3$ sur la maquette. Quel est le volume réel du bassin en mètres cubes ($\text{m}^3$) ?

$20\text{ m}^3$ (car les volumes sont multipliés par $50^3 = 125\,000$, soit $160 \times 125\,000 = 20\,000\,000\text{ cm}^3 = 20\text{ m}^3$).

Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise $2$ boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes ?

$\frac{15}{28}$ (car $P(\text{RV ou VR}) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$).

Une prescription médicale indique la transfusion d'un concentré de globules rouges (CGR) de $300\text{ mL}$ à passer en $1\text{ heure } 30\text{ minutes}$. Quel est le débit du transfuseur en $\text{gouttes/min}$ ($1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$) ?

$50\text{ gouttes/min}$ (car $\frac{300\text{ mL} \times 15\text{ gttes/mL}}{90\text{ min}} = \frac{4\,500}{90} = 50\text{ gouttes/min}$).

Un cône de révolution a pour rayon de base $R = 6\text{ cm}$ et pour hauteur $h = 8\text{ cm}$. Quel est son volume exact $V$ et quelle est la longueur $g$ de sa génératrice ?

$V = 96\pi\text{ cm}^3$ et $g = 10\text{ cm}$ — $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8 = 96\pi\text{ cm}^3$ et la génératrice vaut $g = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ cm}$.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on sait que $AB = 6\text{ cm}$ et $AC = 8\text{ cm}$. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $BC$ et quelle est la longueur exacte de la hauteur $AH$ issue de $A$ relative à l'hypoténuse $BC$ ?

$BC = 10\text{ cm}$ et $AH = 4{,}8\text{ cm}$ — $BC = 10\text{ cm}$ (théorème de Pythagore : $6^2 + 8^2 = 100$) et $AH = 4{,}8\text{ cm}$ (en exprimant l'aire du triangle de deux façons : $\frac{AB \times AC}{2} = \frac{BC \times AH}{2}$).

Comment effectue-t-on les conversions d'unités de volume et de masse suivantes : $0{,}045\text{ m}^3$ en litres ($\text{L}$), $250\text{ cm}^3$ en millilitres ($\text{mL}$), et $0{,}35\text{ mg}$ en microgrammes ($\mu\text{g}$ / gammas) ?

$0{,}045\text{ m}^3 = 45\text{ L}$ ; $250\text{ cm}^3 = 250\text{ mL}$ ; $0{,}35\text{ mg} = 350\text{ }\mu\text{g}$ — $0{,}045\text{ m}^3 = 45\text{ dm}^3 = 45\text{ L}$ ; $250\text{ cm}^3 = 250\text{ mL}$ (car $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$) ; $0{,}35\text{ mg} = 350\text{ }\mu\text{g}$ (car $1\text{ mg} = 1\,000\text{ }\mu\text{g}$).

Un patient doit recevoir $15\,000\text{ UI}$ d'héparine sodique par $24\text{ heures}$ au pousse-seringue électrique (PSE). Le flacon d'héparine est dosé à $25\,000\text{ UI}$ pour $5\text{ mL}$. On prépare une seringue ramenée à $48\text{ mL}$ avec du $\text{NaCl } 0{,}9\%$ pour $24\text{ h}$. Quel volume d'héparine prélève-t-on et quelle est la vitesse du PSE en $\text{mL/h}$ ?

On prélève $3\text{ mL}$ d'héparine (complétés par $45\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$) et on règle le PSE sur $2\text{ mL/h}$ — On prélève $3\text{ mL}$ d'héparine (car $25\,000\text{ UI} / 5\text{ mL} = 5\,000\text{ UI/mL}$, donc $15\,000 / 5\,000 = 3\text{ mL}$), complétés par $45\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$ pour obtenir $48\text{ mL}$, et la vitesse du PSE est $48\text{ mL} / 24\text{ h} = 2\text{ mL/h}$.

Dans un triangle $ABC$, les points $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ sont tels que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, avec $AM = 4\text{ cm}$, $AB = 10\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$. Quelle est la longueur de $[MN]$ et quel est le rapport de l'aire du triangle $AMN$ à l'aire du triangle $ABC$ ?

$MN = 6\text{ cm}$ et $\frac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0{,}16$ — $MN = 6\text{ cm}$ (théorème de Thalès : $\frac{MN}{15} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$) et le rapport des aires vaut $k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0{,}16$.

Pour préparer $5\text{ litres}$ d'une solution désinfectante diluée à $0{,}5\%$ à partir d'un bidon de solution concentrée pure ($100\%$), quel volume de produit concentré et quel volume d'eau faut-il mélanger ?

$25\text{ mL}$ de produit concentré et $4\,975\text{ mL}$ d'eau (pour un volume final de $5\,000\text{ mL}$).

Quel est le critère de divisibilité par $11$ d'un entier naturel écrit en base dix, et le nombre $91\,828$ est-il divisible par $11$ ?

La différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair est un multiple de $11$ ; pour $91\,828$, $(8 + 8 + 9) - (2 + 1) = 25 - 3 = 22 = 2 \times 11$, donc $91\,828$ est divisible par $11$ ($91\,828 = 11 \times 8\,348$) — Un entier est divisible par $11$ si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est un multiple de $11$ (dans $\mathbb{Z}$). Pour $91\,828$ : $(8 + 8 + 9) - (2 + 1) = 22 = 2 \times 11$, donc $91\,828$ est divisible par $11$ ($91\,828 = 11 \times 8\,348$).

Un automobiliste parcourt l'aller entre deux villes distantes de $120\text{ km}$ à la vitesse moyenne de $60\text{ km/h}$, puis effectue le retour sur le même trajet à la vitesse moyenne de $40\text{ km/h}$. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble de l'aller-retour ?

$48\text{ km/h}$ (moyenne harmonique des deux vitesses : $\frac{240\text{ km}}{2\text{ h} + 3\text{ h}} = \frac{240}{5} = 48\text{ km/h}$) — $48\text{ km/h}$ (car la durée de l'aller est $120 / 60 = 2\text{ h}$, celle du retour est $120 / 40 = 3\text{ h}$, soit $240\text{ km}$ parcourus en $5\text{ h}$, d'où $v_m = 240 / 5 = 48\text{ km/h}$).

Dans l'épreuve de mathématiques du CRPE (algorithmique Scratch), un lutin exécute la boucle : « Répéter 6 fois : [Avancer de 50 pas ; Tourner de 60 degrés à droite] » avec le stylo en position d'écriture. Quelle figure géométrique trace-t-il ?

Un hexagone régulier de côté $50$ pas (car l'angle extérieur de rotation à chaque sommet est $60^\circ$, et $6 \times 60^\circ = 360^\circ$, ce qui donne un angle intérieur de $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$) — Un hexagone régulier de côté $50$ pas.

En pédiatrie, le médecin prescrit de l'amoxicilline à la posologie de $80\text{ mg/kg/jour}$ répartie en $3$ prises égales pour un enfant pesant $15\text{ kg}$. La suspension buvable reconstituée est dosée à $250\text{ mg}$ pour $5\text{ mL}$. Quel volume en $\text{mL}$ faut-il administrer à chaque prise ?

$8\text{ mL}$ par prise (soit $400\text{ mg}$ par prise et $1\,200\text{ mg/jour}$) — $8\text{ mL}$ par prise.

Une bouteille d'oxygène médical de $5\text{ litres}$ (volume en eau de l'obus) affiche une pression manométrique de $150\text{ bars}$. Le patient est sous oxygénothérapie au masque à un débit de $6\text{ L/min}$. Quelle est l'autonomie théorique totale et l'autonomie utile (en gardant une marge de sécurité de $10\%$) ?

Autonomie théorique de $125\text{ minutes}$ ($2\text{ h } 05\text{ min}$) et autonomie utile de $112\text{ minutes}$ ($1\text{ h } 52\text{ min}$) — Volume d'oxygène disponible (loi de Mariotte) : $V = 5\text{ L} \times 150\text{ bars} = 750\text{ L}$. À $6\text{ L/min}$, l'autonomie théorique est $750 / 6 = 125\text{ min}$ ($2\text{ h } 05\text{ min}$), et avec une marge de sécurité de $10\%$, l'autonomie utile est $125 \times 0{,}9 = 112{,}5\text{ min}$ ($\approx 1\text{ h } 52\text{ min}$).

Concours CRPE Mathématiques & Sélection IFSI (FPC) — Arithmétique, Géométrie, Probabilités et Calculs de Doses Infirmiers

Exercices fondamentaux et problèmes résolus pour l'épreuve écrite de mathématiques du CRPE (arithmétique, géométrie plane et dans l'espace, probabilités, algorithmique Scratch, typologie de Vergnaud) et la sous-épreuve de calculs médico-pharmaceutiques de la sélection IFSI (voie FPC).

Level: basic
Languages: fr → fr
Cards: 32
Markdown: Concours CRPE Mathématiques & Sélection IFSI (FPC) — Arithmétique, Géométrie, Probabilités et Calculs de Doses Infirmiers (.md)

Flashcards (32)

#	Front (Term / Question)	Back (Definition / Answer)
1	Deux engrenages comptent respectivement $84$ dents et $126$ dents. Quel est leur $\text{PGCD}(84, 126)$, leur $\text{PPCM}(84, 126)$ et combien de tours complets chacun doit-il effectuer au minimum pour revenir simultanément à sa position initiale ?	$\text{PGCD}(84, 126) = 42$ et $\text{PPCM}(84, 126) = 252$ ; le premier engrenage effectue $3$ tours et le second $2$ tours — $\text{PGCD}(84, 126) = 42$ et $\text{PPCM}(84, 126) = \frac{84 \times 126}{42} = 252$ dents ; le premier engrenage fait $252 / 84 = 3$ tours et le second $252 / 126 = 2$ tours.
2	Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1 ; 2)$ et $B(5 ; -1)$. Quelle est la distance $AB$ et quelle est l'équation réduite de la droite $(AB)$ ?	$AB = 5$ et $y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$ — $AB = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ et l'équation réduite de $(AB)$ est $y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$.
3	Un script Scratch initialise `x` à `3` et `y` à `2`, puis exécute : « Répéter 3 fois : [Mettre `x` à `x + y` ; Mettre `y` à `2 * y`] ». Quelles sont les valeurs finales de `x` et de `y` ?	`x = 17` et `y = 16`.
4	Un patient de $70\text{ kg}$ en soins critiques reçoit de la dobutamine au PSE à la posologie de $5\text{ }\mu\text{g/kg/min}$. La seringue de $50\text{ mL}$ contient $250\text{ mg}$ de dobutamine. À quelle vitesse (en $\text{mL/h}$) doit être réglé le pousse-seringue électrique ?	$4{,}2\text{ mL/h}$.
5	Quelle masse de chlorure de sodium ($\text{NaCl}$, en grammes) et de glucose (en grammes) contiennent respectivement un flacon de $500\text{ mL}$ de sérum physiologique ($\text{NaCl } 0{,}9\%$) et une poche de $1\,000\text{ mL}$ de soluté glucosé isotonique ($\text{G5\%}$) ?	$4{,}5\text{ g}$ de $\text{NaCl}$ dans $500\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$ et $50\text{ g}$ de glucose dans $1\,000\text{ mL}$ de $\text{G5\%}$ — $4{,}5\text{ g}$ de $\text{NaCl}$ et $50\text{ g}$ de glucose.
6	Selon la classification de Gérard Vergnaud pour le champ conceptuel des structures multiplicatives, quelles sont les trois grandes catégories de problèmes multiplicatifs à une seule relation de proportionnalité simple ?	1. Multiplication (recherche de la valeur totale pour $n$ parts connaissant la valeur d'une part) ; 2. Division-partition (recherche de la valeur d'une part connaissant le total et le nombre de parts) ; 3. Division-quotition (recherche du nombre de parts connaissant le total et la valeur d'une part) — Dans un tableau de proportionnalité simple avec présence de l'unité, Vergnaud distingue : la multiplication, la division-partition (partage équitable : recherche de la valeur d'une part) et la division-quotition (groupement : recherche du nombre de parts).
7	Un capital de $10\,000\text{ €}$ est placé à intérêts composés au taux annuel de $4\%$. Quelle est sa valeur acquise au bout de $2$ ans, et de combien dépasse-t-elle la valeur acquise à intérêts simples au même taux sur $2$ ans ?	Valeur acquise à intérêts composés : $10\,816\text{ €}$, soit $16\text{ €}$ de plus qu'à intérêts simples ($10\,800\text{ €}$) — $C_2 = 10\,000 \times (1{,}04)^2 = 10\,816\text{ €}$, soit $16\text{ €}$ de plus que la valeur acquise à intérêts simples ($10\,000 \times (1 + 2 \times 0{,}04) = 10\,800\text{ €}$).
8	En didactique des mathématiques au CRPE (classification de Gérard Vergnaud pour les problèmes additifs et soustractifs), comment qualifie-t-on le problème : « Léo avait des billes. Il en gagne 12 à la récréation et en possède maintenant 31. Combien en avait-il avant la récréation ? » ?	Transformation d'états avec recherche de l'état initial ($E_i$) connaissant la transformation positive ($T^+$) et l'état final ($E_f$) — Il s'agit d'un problème de transformation d'états avec recherche de l'état initial ($E_i$) connaissant une transformation positive ($+12$) et l'état final ($31$).
9	En calculs de doses infirmiers (sélection IFSI et pratique clinique), quelle est la norme réglementaire de correspondance entre millilitres ($\text{mL}$) et gouttes ($\text{gttes}$) pour un perfuseur standard de soluté aqueux et pour un transfuseur de sang ?	$1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$ pour un soluté standard (macro-perfuseur), $1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$ pour le sang et ses dérivés (transfuseur), et $1\text{ mL} = 60\text{ microgouttes}$ en pédiatrie — $1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$ pour un soluté standard, $1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$ pour une transfusion sanguine (sang/culot globulaire) et $1\text{ mL} = 60\text{ microgouttes}$ pour un perfuseur de précision pédiatrique.
10	Un flacon de poudre d'antibiotique injectable de $1\text{ g}$ est reconstitué avec $4\text{ mL}$ d'eau pour préparation injectable (EPPI). On doit injecter $350\text{ mg}$ de cet antibiotique. Quel volume exact faut-il prélever (en négligeant l'expansion volumique) ?	$1{,}4\text{ mL}$ (car $1\text{ g} = 1\,000\text{ mg}$ dans $4\text{ mL}$, soit $250\text{ mg/mL}$, et $350 / 250 = 1{,}4\text{ mL}$).
11	Quelles sont les conditions d'éligibilité et la structure des épreuves de la sélection IFSI par la voie de la Formation Professionnelle Continue (FPC) ?	Justifier de 3 ans de cotisation à un régime de protection sociale en France à la date d'inscription ; réussir une épreuve orale d'entretien (20 min, notée sur 20) et une épreuve écrite d'une heure (notée sur 20 : sous-épreuve de rédaction/compréhension en français sur 10 pts + sous-épreuve de calculs simples sur 10 pts), avec un total $\ge 20/40$ sans note lt; 8/20$ — Justifier de 3 ans de cotisation à un régime de protection sociale en France et valider deux épreuves (entretien oral de 20 min noté sur 20 + épreuve écrite d'une heure notée sur 20 comprenant 10 pts de français et 10 pts de calculs simples), avec au moins $20/40$ au total et aucune des deux notes inférieure à $8/20$.
12	Un test de dépistage médical concerne une maladie qui touche $1\%$ d'une population ($P(M) = 0{,}01$). La sensibilité du test est de $95\%$ ($P_M(T) = 0{,}95$) et sa spécificité est de $90\%$ ($P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$). Quelle est la probabilité totale $P(T)$ que le test soit positif ?	$0{,}1085$ (soit $10{,}85\%$) — $P(T) = 0{,}1085$ (soit $10{,}85\%$), d'après la formule des probabilités totales : $P(T) = P(M)P_M(T) + P(\overline{M})P_{\overline{M}}(T) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}10 = 0{,}0095 + 0{,}0990 = 0{,}1085$.
13	Un médecin prescrit une perfusion de $1{,}5\text{ L}$ de sérum glucosé à $5\%$ ($\text{G5\%}$) à passer en $12\text{ heures}$. Quel est le débit en $\text{mL/h}$, et quel est le débit de perfusion en $\text{gouttes/min}$ (arrondi à l'entier le plus proche, avec $1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$) ?	$125\text{ mL/h}$ et $42\text{ gouttes/min}$ (car $\frac{1\,500\text{ mL} \times 20\text{ gttes/mL}}{12 \times 60\text{ min}} = \frac{30\,000}{720} \approx 41{,}67 \rightarrow 42\text{ gouttes/min}$).
14	On doit ajouter $4\text{ g}$ de chlorure de potassium ($\text{KCl}$) dans une poche de perfusion à partir d'ampoules de $10\text{ mL}$ dosées à $10\%$ de $\text{KCl}$. Quel volume (et combien d'ampoules) faut-il prélever ?	$40\text{ mL}$, soit $4$ ampoules de $10\text{ mL}$.
15	Au concours du CRPE (épreuve écrite de mathématiques), quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $2\,520$ et quel est le nombre total de ses diviseurs positifs ?	$2\,520 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ et il possède $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48$ diviseurs positifs — $2\,520 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ ; le nombre de ses diviseurs positifs est $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48$.
16	Un article subit une hausse de prix de $25\%$, suivie d'une remise promotionnelle de $20\%$. Quelle est l'évolution globale en pourcentage ?	Une évolution globale nulle ($0\%$), car le coefficient multiplicateur global vaut $1{,}25 \times 0{,}80 = 1{,}00$ — Une évolution globale nulle ($0\%$), car $CM_{\text{global}} = 1{,}25 \times 0{,}80 = \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1$.
17	Quelles sont les solutions réelles de l'équation $(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = 0$ ?	$x = 4$ et $x = \frac{2}{3}$, obtenues en factorisant par l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ : $((2x - 3) - (x + 1))((2x - 3) + (x + 1)) = (x - 4)(3x - 2) = 0$.
18	Dans une série statistique de notes d'élèves : $\{7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 19\}$, quelles sont la moyenne arithmétique $\bar{x}$, la médiane $Me$ et l'étendue $E$ ?	Moyenne $\bar{x} = 12$, médiane $Me = 12$ et étendue $E = 12$ — Moyenne $\bar{x} = \frac{108}{9} = 12$, médiane $Me = 12$ ($5^\text{e}$ valeur de la série ordonnée de $N = 9$ valeurs) et étendue $E = 19 - 7 = 12$.
19	Dans une maquette d'architecte réalisée à l'échelle $1/50$, un bassin a un volume de $160\text{ cm}^3$ sur la maquette. Quel est le volume réel du bassin en mètres cubes ($\text{m}^3$) ?	$20\text{ m}^3$ (car les volumes sont multipliés par $50^3 = 125\,000$, soit $160 \times 125\,000 = 20\,000\,000\text{ cm}^3 = 20\text{ m}^3$).
20	Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise $2$ boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes ?	$\frac{15}{28}$ (car $P(\text{RV ou VR}) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$).
21	Une prescription médicale indique la transfusion d'un concentré de globules rouges (CGR) de $300\text{ mL}$ à passer en $1\text{ heure } 30\text{ minutes}$. Quel est le débit du transfuseur en $\text{gouttes/min}$ ($1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$) ?	$50\text{ gouttes/min}$ (car $\frac{300\text{ mL} \times 15\text{ gttes/mL}}{90\text{ min}} = \frac{4\,500}{90} = 50\text{ gouttes/min}$).
22	Un cône de révolution a pour rayon de base $R = 6\text{ cm}$ et pour hauteur $h = 8\text{ cm}$. Quel est son volume exact $V$ et quelle est la longueur $g$ de sa génératrice ?	$V = 96\pi\text{ cm}^3$ et $g = 10\text{ cm}$ — $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8 = 96\pi\text{ cm}^3$ et la génératrice vaut $g = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ cm}$.
23	Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on sait que $AB = 6\text{ cm}$ et $AC = 8\text{ cm}$. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $BC$ et quelle est la longueur exacte de la hauteur $AH$ issue de $A$ relative à l'hypoténuse $BC$ ?	$BC = 10\text{ cm}$ et $AH = 4{,}8\text{ cm}$ — $BC = 10\text{ cm}$ (théorème de Pythagore : $6^2 + 8^2 = 100$) et $AH = 4{,}8\text{ cm}$ (en exprimant l'aire du triangle de deux façons : $\frac{AB \times AC}{2} = \frac{BC \times AH}{2}$).
24	Comment effectue-t-on les conversions d'unités de volume et de masse suivantes : $0{,}045\text{ m}^3$ en litres ($\text{L}$), $250\text{ cm}^3$ en millilitres ($\text{mL}$), et $0{,}35\text{ mg}$ en microgrammes ($\mu\text{g}$ / gammas) ?	$0{,}045\text{ m}^3 = 45\text{ L}$ ; $250\text{ cm}^3 = 250\text{ mL}$ ; $0{,}35\text{ mg} = 350\text{ }\mu\text{g}$ — $0{,}045\text{ m}^3 = 45\text{ dm}^3 = 45\text{ L}$ ; $250\text{ cm}^3 = 250\text{ mL}$ (car $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$) ; $0{,}35\text{ mg} = 350\text{ }\mu\text{g}$ (car $1\text{ mg} = 1\,000\text{ }\mu\text{g}$).
25	Un patient doit recevoir $15\,000\text{ UI}$ d'héparine sodique par $24\text{ heures}$ au pousse-seringue électrique (PSE). Le flacon d'héparine est dosé à $25\,000\text{ UI}$ pour $5\text{ mL}$. On prépare une seringue ramenée à $48\text{ mL}$ avec du $\text{NaCl } 0{,}9\%$ pour $24\text{ h}$. Quel volume d'héparine prélève-t-on et quelle est la vitesse du PSE en $\text{mL/h}$ ?	On prélève $3\text{ mL}$ d'héparine (complétés par $45\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$) et on règle le PSE sur $2\text{ mL/h}$ — On prélève $3\text{ mL}$ d'héparine (car $25\,000\text{ UI} / 5\text{ mL} = 5\,000\text{ UI/mL}$, donc $15\,000 / 5\,000 = 3\text{ mL}$), complétés par $45\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$ pour obtenir $48\text{ mL}$, et la vitesse du PSE est $48\text{ mL} / 24\text{ h} = 2\text{ mL/h}$.
26	Dans un triangle $ABC$, les points $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ sont tels que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, avec $AM = 4\text{ cm}$, $AB = 10\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$. Quelle est la longueur de $[MN]$ et quel est le rapport de l'aire du triangle $AMN$ à l'aire du triangle $ABC$ ?	$MN = 6\text{ cm}$ et $\frac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0{,}16$ — $MN = 6\text{ cm}$ (théorème de Thalès : $\frac{MN}{15} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$) et le rapport des aires vaut $k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0{,}16$.
27	Pour préparer $5\text{ litres}$ d'une solution désinfectante diluée à $0{,}5\%$ à partir d'un bidon de solution concentrée pure ($100\%$), quel volume de produit concentré et quel volume d'eau faut-il mélanger ?	$25\text{ mL}$ de produit concentré et $4\,975\text{ mL}$ d'eau (pour un volume final de $5\,000\text{ mL}$).
28	Quel est le critère de divisibilité par $11$ d'un entier naturel écrit en base dix, et le nombre $91\,828$ est-il divisible par $11$ ?	La différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair est un multiple de $11$ ; pour $91\,828$, $(8 + 8 + 9) - (2 + 1) = 25 - 3 = 22 = 2 \times 11$, donc $91\,828$ est divisible par $11$ ($91\,828 = 11 \times 8\,348$) — Un entier est divisible par $11$ si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est un multiple de $11$ (dans $\mathbb{Z}$). Pour $91\,828$ : $(8 + 8 + 9) - (2 + 1) = 22 = 2 \times 11$, donc $91\,828$ est divisible par $11$ ($91\,828 = 11 \times 8\,348$).
29	Un automobiliste parcourt l'aller entre deux villes distantes de $120\text{ km}$ à la vitesse moyenne de $60\text{ km/h}$, puis effectue le retour sur le même trajet à la vitesse moyenne de $40\text{ km/h}$. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble de l'aller-retour ?	$48\text{ km/h}$ (moyenne harmonique des deux vitesses : $\frac{240\text{ km}}{2\text{ h} + 3\text{ h}} = \frac{240}{5} = 48\text{ km/h}$) — $48\text{ km/h}$ (car la durée de l'aller est $120 / 60 = 2\text{ h}$, celle du retour est $120 / 40 = 3\text{ h}$, soit $240\text{ km}$ parcourus en $5\text{ h}$, d'où $v_m = 240 / 5 = 48\text{ km/h}$).
30	Dans l'épreuve de mathématiques du CRPE (algorithmique Scratch), un lutin exécute la boucle : « Répéter 6 fois : [Avancer de 50 pas ; Tourner de 60 degrés à droite] » avec le stylo en position d'écriture. Quelle figure géométrique trace-t-il ?	Un hexagone régulier de côté $50$ pas (car l'angle extérieur de rotation à chaque sommet est $60^\circ$, et $6 \times 60^\circ = 360^\circ$, ce qui donne un angle intérieur de $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$) — Un hexagone régulier de côté $50$ pas.
31	En pédiatrie, le médecin prescrit de l'amoxicilline à la posologie de $80\text{ mg/kg/jour}$ répartie en $3$ prises égales pour un enfant pesant $15\text{ kg}$. La suspension buvable reconstituée est dosée à $250\text{ mg}$ pour $5\text{ mL}$. Quel volume en $\text{mL}$ faut-il administrer à chaque prise ?	$8\text{ mL}$ par prise (soit $400\text{ mg}$ par prise et $1\,200\text{ mg/jour}$) — $8\text{ mL}$ par prise.
32	Une bouteille d'oxygène médical de $5\text{ litres}$ (volume en eau de l'obus) affiche une pression manométrique de $150\text{ bars}$. Le patient est sous oxygénothérapie au masque à un débit de $6\text{ L/min}$. Quelle est l'autonomie théorique totale et l'autonomie utile (en gardant une marge de sécurité de $10\%$) ?	Autonomie théorique de $125\text{ minutes}$ ($2\text{ h } 05\text{ min}$) et autonomie utile de $112\text{ minutes}$ ($1\text{ h } 52\text{ min}$) — Volume d'oxygène disponible (loi de Mariotte) : $V = 5\text{ L} \times 150\text{ bars} = 750\text{ L}$. À $6\text{ L/min}$, l'autonomie théorique est $750 / 6 = 125\text{ min}$ ($2\text{ h } 05\text{ min}$), et avec une marge de sécurité de $10\%$, l'autonomie utile est $125 \times 0{,}9 = 112{,}5\text{ min}$ ($\approx 1\text{ h } 52\text{ min}$).