Чем поле Хиггса отличается от бозона Хиггса?

Поле Хиггса имеет ненулевое вакуумное значение; его связи дают массы бозонам W и Z, кваркам и заряженным лептонам в Стандартной модели. Бозон Хиггса — возбуждение этого поля со спином 0, открытое на БАК в 2012 году. Поле и его возбуждение-частица связаны, но не тождественны.

Что исключают нарушения неравенств Белла?

Они исключают локальные модели скрытых переменных, удовлетворяющие предпосылкам вывода неравенства, включая независимость настроек измерения от скрытых переменных. Квантовая теория предсказывает нарушения для подходящих запутанных состояний и измерений, и эксперименты их наблюдают. Запутанность не позволяет управляемо передавать информацию быстрее света.

Как меняется длина волны фотона при комптоновском рассеянии на первоначально покоящемся электроне?

Для свободного электрона, первоначально находящегося в покое, Δλ = λ′−λ = [h/(mₑc)](1−cos θ), где θ — угол рассеяния фотона. h/(mₑc) ≈ 2,426 × 10⁻¹² м. Связанные электроны приближённо соответствуют этому случаю лишь при пренебрежимо малых эффектах связи и начального движения.

Что предсказывает экспоненциальный радиоактивный распад и как период полураспада связан с λ?

При постоянной интенсивности распада λ на сохранившееся ядро, без образования и иного удаления материнских ядер, ожидаемое оставшееся число N(t) = N₀e^(−λt). Период полураспада t½ = ln 2/λ: каждое исходное ядро имеет тогда вероятность сохраниться ½. Отдельные моменты распада случайны, поэтому конечный образец не обязан терять ровно половину ядер.

Как определить энергию связи ядра по его дефекту массы?

Используя ядерные, а не атомные массы, Δm = Zmₚ + (A−Z)mₙ − M_nucleus и B = Δmc². Для связанного ядра B — энергия, необходимая для его разделения на свободные протоны и нейтроны. В этом выражении нельзя смешивать массу голого ядра с массами нейтральных атомов.

Каковы энергии и пространственные собственные функции в бесконечной одномерной яме от x = 0 до x = L?

Для нерелятивистской частицы с V = 0 внутри и бесконечными барьерами снаружи Eₙ = n²h²/(8mL²), n = 1, 2, …. Внутри ψₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L); на стенках и снаружи функция равна нулю. Полное собственное состояние энергии также содержит временной множитель exp(−iEₙt/ħ).

Что вычисляет нерелятивистская формула Лармора?

Полная мощность излучения ускоряющегося точечного заряда q в вакууме в нерелятивистском пределе равна P = q²a²/(6πε₀c³). a — модуль ускорения. Формула применима при любом направлении ускорения, в том числе при движении по окружности; это не общая релятивистская формула излучения.

Какие переносчики взаимодействий входят в Стандартную модель и включена ли в неё гравитация?

Фотоны переносят электромагнитное взаимодействие; бозоны W⁺, W⁻ и Z — слабое; восемь глюонов — сильное цветовое взаимодействие. Гравитация не входит в Стандартную модель, а гравитон остаётся гипотетическим. Короткодействующая остаточная ядерная сила между нуклонами отличается от лежащего в её основе цветового взаимодействия.

Как α-, β−-, β+- и γ-распады меняют массовое число A и атомный номер Z?

В энергетически разрешённых распадах α испускает ядро гелия-4: A → A−4, Z → Z−2. β− испускает электрон и электронное антинейтрино, при этом Z → Z+1; β+ — позитрон и электронное нейтрино, при этом Z → Z−1. Оба сохраняют A. γ испускает фотон и снижает возбуждение ядра без изменения A и Z. Свободный протон не может самопроизвольно испытывать β+-распад.

Как знак интервала Минковского классифицирует два различных события?

При соглашении +−−−: Δs² = c²Δt² − Δx² − Δy² − Δz². Положительные интервалы времениподобны и допускают причинную связь со скоростью ниже c; отрицательные пространственноподобны и не допускают причинной связи со скоростью не выше c. Нулевые интервалы светоподобны: события может связать свет. Классификация не утверждает, что сигнал действительно был послан.

Как матрицы Паули представляют спин электрона?

В обычном базисе S_z: σₓ = [[0,1],[1,0]], σᵧ = [[0,−i],[i,0]], σ_z = [[1,0],[0,−1]]. Операторы спина: Sⱼ = (ħ/2)σⱼ. При спине ½ собственное значение S² равно 3ħ²/4, а измеряемая компонента, например S_z, имеет собственные значения +ħ/2 и −ħ/2.

Какое уравнение локального сохранения заряда следует из уравнений Максвелла?

∂ρ/∂t + ∇·J = 0. Берут дивергенцию уравнения Ампера–Максвелла, используют равенство нулю дивергенции ротора и подставляют ∇·E = ρ/ε₀. Преобладание вытекающего тока локально уменьшает плотность заряда.

Почему многие реакции синтеза лёгких ядер и деления тяжёлых ядер могут выделять энергию?

Энергия связи на нуклон максимальна в области железа и никеля; у никеля-62 она немного выше, чем у железа-56. Реакция может выделить энергию, если продукты в целом связаны сильнее. Для конкретной реакции проверяют фактический баланс масс: Q = (Σm_нач − Σm_кон)c², а не предполагают, что всякий синтез или деление выделяет энергию.

Какие пять вкладов входят в полуэмпирическую формулу энергии связи ядра?

Объёмная связь, поверхностная поправка, кулоновское отталкивание, нейтрон-протонная асимметрия и спаривание. Частая форма: B = aᵥA − aₛA^(2/3) − a_cZ(Z−1)/A^(1/3) − aₐ(A−2Z)²/A + δ. Спаривание увеличивает связь чётно-чётных ядер и уменьшает её для нечётно-нечётных; при нечётном A δ = 0. Коэффициенты и точная форма члена спаривания зависят от подгонки.

Когда идеальный газ подчиняется закону PV^γ = const в адиабатическом процессе?

Для постоянного количества идеального газа в обратимом адиабатическом процессе с постоянными теплоёмкостями PV^γ = const и TV^(γ−1) = const, где γ = Cₚ/Cᵥ. Одной адиабатичности недостаточно: свободное расширение, например, необратимо и не обязано подчиняться этому степенному закону.

Как приближение Клаузиуса–Клапейрона следует из уравнения Клапейрона?

Вдоль кривой сосуществования фаз dP/dT = ΔH/(TΔV), причём обе разности выражают на одной молярной или массовой основе. Для равновесия жидкость–пар допущения идеального пара и пренебрежимо малого объёма жидкости дают d ln P/dT = ΔHᵥₐₚ,ₘ/(RT²). Обычная интегральная форма дополнительно предполагает почти постоянную энтальпию испарения.

Как из уравнений Максвелла получается волновое уравнение электрического поля в вакууме без источников?

При ρ = 0 и J = 0 берут ротор от ∇×E = −∂B/∂t и используют ∇·E = 0 вместе с уравнением Ампера–Максвелла. Получают ∇²E − (1/c²)∂²E/∂t² = 0, где c = 1/√(μ₀ε₀).

Что сохраняется при калибровочном преобразовании и чем различаются калибровки Кулона и Лоренца?

A′ = A + ∇χ и φ′ = φ − ∂χ/∂t не меняют E = −∇φ − ∂A/∂t и B = ∇×A. Калибровка Кулона задаёт ∇·A = 0, а Лоренца — ∇·A + (1/c²)∂φ/∂t = 0. Мгновенный скалярный потенциал в калибровке Кулона не означает мгновенных наблюдаемых полей или передачи сигналов быстрее света.

Что такое каноническая статистическая сумма и как она определяет свободную энергию Гельмгольца?

При фиксированных T, V и N: Z = Σₛ exp(−βEₛ), где β = 1/(k_BT), а k_B — постоянная Больцмана; суммирование идёт по микросостояниям. При суммировании по различным уровням энергии учитывают вырождение: Z = Σᵢ gᵢ exp(−βEᵢ). Свободная энергия Гельмгольца равна F = −k_BT ln Z.

Как связаны коллинеарные компоненты скорости в разных инерциальных системах?

Если S′ движется со скоростью v относительно S вдоль общей оси x, то u = (u′+v)/(1+u′v/c²). Это компоненты скорости со знаком; |v| < c. Луч с u′ = c по-прежнему имеет u = c; сложение досветовых скоростей даёт досветовой результат.

Каковы два постулата специальной теории относительности?

Законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта. Скорость света в вакууме c одинакова в любой инерциальной системе и не зависит от движения источника. В СИ c точно равна 299 792 458 м/с.

Каковы преобразования Лоренца для двух систем в стандартной конфигурации вдоль оси x?

S′ движется с постоянной скоростью v вдоль оси x системы S; оси параллельны, а начала координат совпадают при t = t′ = 0. При |v| < c: γ = 1/√(1−v²/c²), x′ = γ(x−vt), t′ = γ(t−vx/c²), y′ = y и z′ = z.

Какая связь энергии и импульса применима к массивным и безмассовым частицам?

E² = p²c² + m²c⁴, где m — инвариантная масса, p — модуль импульса. Для массивной частицы E = γmc² и p = γmv, где v — модуль скорости. В покое E₀ = mc². Для безмассовой частицы E = pc; формулы с γ для массивных частиц нельзя применять при v = c.

Каково соотношение Майера для идеального газа и почему нагрев при постоянном давлении требует больше теплоты?

Для идеального газа постоянного состава, совершающего только работу давления при изменении объёма, молярные теплоёмкости связаны соотношением Cₚ,ₘ − Cᵥ,ₘ = R. При постоянном давлении дополнительная теплота обеспечивает работу расширения; при постоянном объёме такой работы нет.

Почему атмосферные мюоны подтверждают релятивистское замедление времени?

Собственное среднее время жизни около 2,2 мкс. При почти постоянном модуле скорости v среднее время жизни в системе Земли равно γτ₀, а средняя длина пробега до распада — vγτ₀. Вероятность пережить путь L равна exp[−L/(vγτ₀)]. Это статистические величины; замедление времени объясняет, почему поверхности достигает гораздо больше мюонов, чем предсказывает нерелятивистский расчёт.

Каковы четыре дифференциальных уравнения Максвелла в СИ с полными плотностями заряда и тока?

∇·E = ρ/ε₀; ∇·B = 0; ∇×E = −∂B/∂t; ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t. Здесь ρ и J — полные плотности заряда и тока. Это микроскопические уравнения E–B, а не макроскопическая форма D–H, использующая только свободные источники.

В чём заключалась ультрафиолетовая катастрофа и что изменилось в модели Планка?

При ненулевой температуре классическое равнораспределение даёт спектральную плотность энергии чёрного тела, пропорциональную f², поэтому интеграл по всем частотам расходится. Планк ограничил энергии осцилляторов кратными hf. Полученное распределение подавляет высокие частоты и имеет конечную полную плотность энергии.

Как числа заполнения Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна переходят к классическому пределу?

В равновесии для идеальных невзаимодействующих частиц среднее заполнение одночастичного состояния с энергией E равно 1/[exp((E−μ)/(k_BT))+1] для фермионов и 1/[exp((E−μ)/(k_BT))−1] для бозонов. Фермионы подчиняются принципу Паули; бозоны могут занимать одно состояние. В разреженном невырожденном пределе оба выражения стремятся к exp((μ−E)/(k_BT)). μ — химический потенциал, k_B — постоянная Больцмана.

Как сгруппированы кварки и лептоны Стандартной модели?

В три поколения фермионов со спином ½: пары кварков (верхний, нижний), (очарованный, странный), (истинный, прелестный) и лептонов (электрон, электронное нейтрино), (мюон, мюонное нейтрино), (тау, тау-нейтрино). Кварки верхнего типа имеют заряд +2e/3, нижнего типа −e/3, заряженные лептоны −e, нейтрино 0. Кварки несут цветовой заряд, лептоны — нет.

Какие измерения определяют замедление времени и сокращение длины?

Для равномерно движущихся часов Δt = γΔτ, где Δτ — собственное время, отсчитанное часами, присутствующими при обоих событиях. Вдоль движения L = L₀/γ: L₀ — длина в системе покоя объекта, а L определяется по положениям концов, измеренным одновременно в системе, где объект движется.

Каков энергетический спектр одномерного квантового гармонического осциллятора?

При V(x) = ½mω²x²: Eₙ = (n+½)ħω, где n = 0, 1, 2, …. Соседние уровни отличаются на ħω, а энергия основного состояния равна ħω/2 относительно минимума потенциала. Эта нулевая энергия не описывает определённую классическую траекторию.

Как энтропия определяет температуру при постоянных объёме и числе частиц?

1/T = (∂S/∂E) при постоянных V и N, где S — термодинамическая энтропия, E — внутренняя энергия, T — абсолютная температура. Системы, способные обмениваться энергией, находятся в тепловом равновесии при равенстве температур.

Тепловая, электромагнитная и современная физика: избранные понятия

32 карточки для повторения избранных понятий статистической термодинамики, электромагнетизма, относительности, квантовой и ядерной физики, а также основ физики частиц. Предполагается знакомство с вводной механикой, математическим анализом и элементами линейной алгебры.

Level: intermediate
Languages: ru → ru
Cards: 32
Markdown: Тепловая, электромагнитная и современная физика: избранные понятия (.md)

Flashcards (32)

#	Front (Term / Question)	Back (Definition / Answer)
1	Чем поле Хиггса отличается от бозона Хиггса?	Поле Хиггса имеет ненулевое вакуумное значение; его связи дают массы бозонам W и Z, кваркам и заряженным лептонам в Стандартной модели. Бозон Хиггса — возбуждение этого поля со спином 0, открытое на БАК в 2012 году. Поле и его возбуждение-частица связаны, но не тождественны.
2	Что исключают нарушения неравенств Белла?	Они исключают локальные модели скрытых переменных, удовлетворяющие предпосылкам вывода неравенства, включая независимость настроек измерения от скрытых переменных. Квантовая теория предсказывает нарушения для подходящих запутанных состояний и измерений, и эксперименты их наблюдают. Запутанность не позволяет управляемо передавать информацию быстрее света.
3	Как меняется длина волны фотона при комптоновском рассеянии на первоначально покоящемся электроне?	Для свободного электрона, первоначально находящегося в покое, Δλ = λ′−λ = [h/(mₑc)](1−cos θ), где θ — угол рассеяния фотона. h/(mₑc) ≈ 2,426 × 10⁻¹² м. Связанные электроны приближённо соответствуют этому случаю лишь при пренебрежимо малых эффектах связи и начального движения.
4	Что предсказывает экспоненциальный радиоактивный распад и как период полураспада связан с λ?	При постоянной интенсивности распада λ на сохранившееся ядро, без образования и иного удаления материнских ядер, ожидаемое оставшееся число N(t) = N₀e^(−λt). Период полураспада t½ = ln 2/λ: каждое исходное ядро имеет тогда вероятность сохраниться ½. Отдельные моменты распада случайны, поэтому конечный образец не обязан терять ровно половину ядер.
5	Как определить энергию связи ядра по его дефекту массы?	Используя ядерные, а не атомные массы, Δm = Zmₚ + (A−Z)mₙ − M_nucleus и B = Δmc². Для связанного ядра B — энергия, необходимая для его разделения на свободные протоны и нейтроны. В этом выражении нельзя смешивать массу голого ядра с массами нейтральных атомов.
6	Каковы энергии и пространственные собственные функции в бесконечной одномерной яме от x = 0 до x = L?	Для нерелятивистской частицы с V = 0 внутри и бесконечными барьерами снаружи Eₙ = n²h²/(8mL²), n = 1, 2, …. Внутри ψₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L); на стенках и снаружи функция равна нулю. Полное собственное состояние энергии также содержит временной множитель exp(−iEₙt/ħ).
7	Что вычисляет нерелятивистская формула Лармора?	Полная мощность излучения ускоряющегося точечного заряда q в вакууме в нерелятивистском пределе равна P = q²a²/(6πε₀c³). a — модуль ускорения. Формула применима при любом направлении ускорения, в том числе при движении по окружности; это не общая релятивистская формула излучения.
8	Какие переносчики взаимодействий входят в Стандартную модель и включена ли в неё гравитация?	Фотоны переносят электромагнитное взаимодействие; бозоны W⁺, W⁻ и Z — слабое; восемь глюонов — сильное цветовое взаимодействие. Гравитация не входит в Стандартную модель, а гравитон остаётся гипотетическим. Короткодействующая остаточная ядерная сила между нуклонами отличается от лежащего в её основе цветового взаимодействия.
9	Как α-, β−-, β+- и γ-распады меняют массовое число A и атомный номер Z?	В энергетически разрешённых распадах α испускает ядро гелия-4: A → A−4, Z → Z−2. β− испускает электрон и электронное антинейтрино, при этом Z → Z+1; β+ — позитрон и электронное нейтрино, при этом Z → Z−1. Оба сохраняют A. γ испускает фотон и снижает возбуждение ядра без изменения A и Z. Свободный протон не может самопроизвольно испытывать β+-распад.
10	Как знак интервала Минковского классифицирует два различных события?	При соглашении +−−−: Δs² = c²Δt² − Δx² − Δy² − Δz². Положительные интервалы времениподобны и допускают причинную связь со скоростью ниже c; отрицательные пространственноподобны и не допускают причинной связи со скоростью не выше c. Нулевые интервалы светоподобны: события может связать свет. Классификация не утверждает, что сигнал действительно был послан.
11	Как матрицы Паули представляют спин электрона?	В обычном базисе S_z: σₓ = [[0,1],[1,0]], σᵧ = [[0,−i],[i,0]], σ_z = [[1,0],[0,−1]]. Операторы спина: Sⱼ = (ħ/2)σⱼ. При спине ½ собственное значение S² равно 3ħ²/4, а измеряемая компонента, например S_z, имеет собственные значения +ħ/2 и −ħ/2.
12	Какое уравнение локального сохранения заряда следует из уравнений Максвелла?	∂ρ/∂t + ∇·J = 0. Берут дивергенцию уравнения Ампера–Максвелла, используют равенство нулю дивергенции ротора и подставляют ∇·E = ρ/ε₀. Преобладание вытекающего тока локально уменьшает плотность заряда.
13	Почему многие реакции синтеза лёгких ядер и деления тяжёлых ядер могут выделять энергию?	Энергия связи на нуклон максимальна в области железа и никеля; у никеля-62 она немного выше, чем у железа-56. Реакция может выделить энергию, если продукты в целом связаны сильнее. Для конкретной реакции проверяют фактический баланс масс: Q = (Σm_нач − Σm_кон)c², а не предполагают, что всякий синтез или деление выделяет энергию.
14	Какие пять вкладов входят в полуэмпирическую формулу энергии связи ядра?	Объёмная связь, поверхностная поправка, кулоновское отталкивание, нейтрон-протонная асимметрия и спаривание. Частая форма: B = aᵥA − aₛA^(2/3) − a_cZ(Z−1)/A^(1/3) − aₐ(A−2Z)²/A + δ. Спаривание увеличивает связь чётно-чётных ядер и уменьшает её для нечётно-нечётных; при нечётном A δ = 0. Коэффициенты и точная форма члена спаривания зависят от подгонки.
15	Когда идеальный газ подчиняется закону PV^γ = const в адиабатическом процессе?	Для постоянного количества идеального газа в обратимом адиабатическом процессе с постоянными теплоёмкостями PV^γ = const и TV^(γ−1) = const, где γ = Cₚ/Cᵥ. Одной адиабатичности недостаточно: свободное расширение, например, необратимо и не обязано подчиняться этому степенному закону.
16	Как приближение Клаузиуса–Клапейрона следует из уравнения Клапейрона?	Вдоль кривой сосуществования фаз dP/dT = ΔH/(TΔV), причём обе разности выражают на одной молярной или массовой основе. Для равновесия жидкость–пар допущения идеального пара и пренебрежимо малого объёма жидкости дают d ln P/dT = ΔHᵥₐₚ,ₘ/(RT²). Обычная интегральная форма дополнительно предполагает почти постоянную энтальпию испарения.
17	Как из уравнений Максвелла получается волновое уравнение электрического поля в вакууме без источников?	При ρ = 0 и J = 0 берут ротор от ∇×E = −∂B/∂t и используют ∇·E = 0 вместе с уравнением Ампера–Максвелла. Получают ∇²E − (1/c²)∂²E/∂t² = 0, где c = 1/√(μ₀ε₀).
18	Что сохраняется при калибровочном преобразовании и чем различаются калибровки Кулона и Лоренца?	A′ = A + ∇χ и φ′ = φ − ∂χ/∂t не меняют E = −∇φ − ∂A/∂t и B = ∇×A. Калибровка Кулона задаёт ∇·A = 0, а Лоренца — ∇·A + (1/c²)∂φ/∂t = 0. Мгновенный скалярный потенциал в калибровке Кулона не означает мгновенных наблюдаемых полей или передачи сигналов быстрее света.
19	Что такое каноническая статистическая сумма и как она определяет свободную энергию Гельмгольца?	При фиксированных T, V и N: Z = Σₛ exp(−βEₛ), где β = 1/(k_BT), а k_B — постоянная Больцмана; суммирование идёт по микросостояниям. При суммировании по различным уровням энергии учитывают вырождение: Z = Σᵢ gᵢ exp(−βEᵢ). Свободная энергия Гельмгольца равна F = −k_BT ln Z.
20	Как связаны коллинеарные компоненты скорости в разных инерциальных системах?	Если S′ движется со скоростью v относительно S вдоль общей оси x, то u = (u′+v)/(1+u′v/c²). Это компоненты скорости со знаком; \|v\| < c. Луч с u′ = c по-прежнему имеет u = c; сложение досветовых скоростей даёт досветовой результат.
21	Каковы два постулата специальной теории относительности?	Законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта. Скорость света в вакууме c одинакова в любой инерциальной системе и не зависит от движения источника. В СИ c точно равна 299 792 458 м/с.
22	Каковы преобразования Лоренца для двух систем в стандартной конфигурации вдоль оси x?	S′ движется с постоянной скоростью v вдоль оси x системы S; оси параллельны, а начала координат совпадают при t = t′ = 0. При \|v\| < c: γ = 1/√(1−v²/c²), x′ = γ(x−vt), t′ = γ(t−vx/c²), y′ = y и z′ = z.
23	Какая связь энергии и импульса применима к массивным и безмассовым частицам?	E² = p²c² + m²c⁴, где m — инвариантная масса, p — модуль импульса. Для массивной частицы E = γmc² и p = γmv, где v — модуль скорости. В покое E₀ = mc². Для безмассовой частицы E = pc; формулы с γ для массивных частиц нельзя применять при v = c.
24	Каково соотношение Майера для идеального газа и почему нагрев при постоянном давлении требует больше теплоты?	Для идеального газа постоянного состава, совершающего только работу давления при изменении объёма, молярные теплоёмкости связаны соотношением Cₚ,ₘ − Cᵥ,ₘ = R. При постоянном давлении дополнительная теплота обеспечивает работу расширения; при постоянном объёме такой работы нет.
25	Почему атмосферные мюоны подтверждают релятивистское замедление времени?	Собственное среднее время жизни около 2,2 мкс. При почти постоянном модуле скорости v среднее время жизни в системе Земли равно γτ₀, а средняя длина пробега до распада — vγτ₀. Вероятность пережить путь L равна exp[−L/(vγτ₀)]. Это статистические величины; замедление времени объясняет, почему поверхности достигает гораздо больше мюонов, чем предсказывает нерелятивистский расчёт.
26	Каковы четыре дифференциальных уравнения Максвелла в СИ с полными плотностями заряда и тока?	∇·E = ρ/ε₀; ∇·B = 0; ∇×E = −∂B/∂t; ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t. Здесь ρ и J — полные плотности заряда и тока. Это микроскопические уравнения E–B, а не макроскопическая форма D–H, использующая только свободные источники.
27	В чём заключалась ультрафиолетовая катастрофа и что изменилось в модели Планка?	При ненулевой температуре классическое равнораспределение даёт спектральную плотность энергии чёрного тела, пропорциональную f², поэтому интеграл по всем частотам расходится. Планк ограничил энергии осцилляторов кратными hf. Полученное распределение подавляет высокие частоты и имеет конечную полную плотность энергии.
28	Как числа заполнения Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна переходят к классическому пределу?	В равновесии для идеальных невзаимодействующих частиц среднее заполнение одночастичного состояния с энергией E равно 1/[exp((E−μ)/(k_BT))+1] для фермионов и 1/[exp((E−μ)/(k_BT))−1] для бозонов. Фермионы подчиняются принципу Паули; бозоны могут занимать одно состояние. В разреженном невырожденном пределе оба выражения стремятся к exp((μ−E)/(k_BT)). μ — химический потенциал, k_B — постоянная Больцмана.
29	Как сгруппированы кварки и лептоны Стандартной модели?	В три поколения фермионов со спином ½: пары кварков (верхний, нижний), (очарованный, странный), (истинный, прелестный) и лептонов (электрон, электронное нейтрино), (мюон, мюонное нейтрино), (тау, тау-нейтрино). Кварки верхнего типа имеют заряд +2e/3, нижнего типа −e/3, заряженные лептоны −e, нейтрино 0. Кварки несут цветовой заряд, лептоны — нет.
30	Какие измерения определяют замедление времени и сокращение длины?	Для равномерно движущихся часов Δt = γΔτ, где Δτ — собственное время, отсчитанное часами, присутствующими при обоих событиях. Вдоль движения L = L₀/γ: L₀ — длина в системе покоя объекта, а L определяется по положениям концов, измеренным одновременно в системе, где объект движется.
31	Каков энергетический спектр одномерного квантового гармонического осциллятора?	При V(x) = ½mω²x²: Eₙ = (n+½)ħω, где n = 0, 1, 2, …. Соседние уровни отличаются на ħω, а энергия основного состояния равна ħω/2 относительно минимума потенциала. Эта нулевая энергия не описывает определённую классическую траекторию.
32	Как энтропия определяет температуру при постоянных объёме и числе частиц?	1/T = (∂S/∂E) при постоянных V и N, где S — термодинамическая энтропия, E — внутренняя энергия, T — абсолютная температура. Системы, способные обмениваться энергией, находятся в тепловом равновесии при равенстве температур.