Jak zní vzorce pro $n$-tý člen $a_n$ a součet $s_n$ prvních $n$ členů geometrické posloupnosti s kvocientem $q \neq 1$ a jak se počítá složené úročení ve finanční matematice?

$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$ a $s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$; konečný kapitál po $n$ úrokovacích obdobích při úrokové sazbě $i$ (a dani z úroku $d$) je $K_n = K_0 \cdot (1 + i(1 - d))^n$ — Geometrická posloupnost modeluje exponenciální růst/pokles včetně složeného úročení. Při roční úrokové míře $p\,\%$ a srážkové dani z úroků $15\,\%$ roste vklad po každém roce $(1 + 0{,}85 \cdot \frac{p}{100})$-krát.

$a_n = a_1 \cdot q^n$ a $s_n = n \cdot a_1 \cdot q$; konečný kapitál při složeném úročení je $K_n = K_0 \cdot (1 + n \cdot i)$

$a_n = a_1 + (n - 1)q$ a $s_n = a_1 \cdot \frac{q - 1}{q^n - 1}$

$a_n = q^{n - 1} / a_1$ a pro $|q| > 1$ konverguje nekonečná geometrická řada k součtu $a_1 / (1 - q)$

Jak zní binomická věta pro $(a + b)^n$ a vzorec pro $(k + 1)$-ní člen binomického rozvoje?

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$; $(k + 1)$-ní člen rozvoje je $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ (pro $k = 0, 1, \dots, n$) a součet všech binomických koeficientů v $n$-tém řádku Pascalova trojúhelníku je $2^n$ — Binomický rozvoj $(a + b)^n$ má $n + 1$ členů (indexujeme od $k = 0$ do $k = n$). Dosazením $a = 1, b = 1$ ihned plyne $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = (1 + 1)^n = 2^n$.

$(a + b)^n = a^n + b^n$ pro každé přirozené číslo $n$

Součet všech binomických koeficientů $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n}$ je roven $n!$

Rozvoj $(a + b)^n$ má přesně $n$ členů

Jak zní Viètovy vzorce pro kořeny $x_1, x_2$ kvadratické rovnice $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) a jak rozhoduje diskriminant $D = b^2 - 4ac$ o počtu reálných kořenů?

$x_1 + x_2 = -b/a$ a $x_1 \cdot x_2 = c/a$; pro $D > 0$ má rovnice dva různé reálné kořeny, pro $D = 0$ jeden dvojnásobný reálný kořen a pro $D < 0$ nemá v $\mathbb{R}$ řešení — Podle Viètových vzorců pro normovaný tvar $x^2 + px + q = 0$ (kde $p = b/a$, $q = c/a$) platí $x_1 + x_2 = -p = -b/a$ a $x_1 x_2 = q = c/a$. Kořenový vzorec zní $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

$x_1 + x_2 = b/a$ a $x_1 \cdot x_2 = -c/a$; pro $D < 0$ má rovnice dva záporné reálné kořeny

$x_1 + x_2 = c/a$ a $x_1 \cdot x_2 = -b/a$; pro $D = 0$ nemá rovnice žádné reálné řešení

$x_1 + x_2 = -b/(2a)$ a $x_1 \cdot x_2 = b^2 - 4ac$; diskriminant určuje pouze znaménko kořenů

Jaké jsou vzorce pro objem $V$ a povrch $S$ rotačního válce, rotačního kužele (se stranou $s = \sqrt{r^2 + v^2}$), pravidelného jehlanu a koule?

Válec: $V = \pi r^2 v$, $S = 2\pi r^2 + 2\pi r v$; Kužel: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 v$, $S = \pi r^2 + \pi r s$; Jehlan: $V = \frac{1}{3} S_p v$, $S = S_p + S_{pl}$; Koule: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, $S = 4\pi r^2$ — Tělesa s jednou podstavou vybíhající do vrcholu (jehlan, kužel) mají objem roven jedné třetině součinu obsahu podstavy a výšky ($V = \frac{1}{3} S_p v$). Plášť kužele po rozvinutí do roviny tvoří kruhovou výseč o poloměru $s$ a délce oblouku $2\pi r$, jejíž obsah je $\pi r s$.

Válec: $V = 2\pi r v$; Kužel: $V = \frac{1}{2}\pi r^2 v$, $S = \pi r^2 + 2\pi r v$; Koule: $V = \frac{4}{3}\pi r^2$, $S = \pi r^3$

Kužel i jehlan mají objem $V = \frac{1}{2} S_p v$ a koule má objem $V = \frac{3}{4}\pi r^3$

Povrch pláště rotačního kužele je $S_{pl} = 2\pi r v$ a objem koule je $V = 4\pi r^3$

Jaký je součet všech vnitřních úhlů konvexního $n$-úhelníku a kolik úhlopříček má konvexní $n$-úhelník?

Součet vnitřních úhlů je $(n - 2) \cdot 180^\circ$ a počet úhlopříček je $\frac{n(n - 3)}{2}$ — Konvexní $n$-úhelník lze z jednoho vrcholu rozdělit na $n - 2$ trojúhelníků, z nichž každý má součet úhlů $180^\circ$ (např. pro šestiúhelník $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$). Z každého z $n$ vrcholů vede úhlopříčka do $n - 3$ vrcholů (ne do sebe a ne do dvou sousedních) a každou započítáme dvakrát, tedy $n(n - 3)/2$.

Součet vnitřních úhlů je $n \cdot 180^\circ$ a počet úhlopříček je $n(n - 2)$

Součet vnitřních úhlů je $360^\circ$ bez ohledu na $n$ a počet úhlopříček je $\binom{n}{2}$

Součet vnitřních úhlů je $(n - 1) \cdot 180^\circ$ a počet úhlopříček je $n - 3$

Řešte exponenciální rovnici $3^{2x - 1} = 27^{x - 2}$ a logaritmickou rovnici $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3$.

U exponenciální rovnice $2x - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow x = 5$; u logaritmické rovnice $(x - 1)(x + 1) = 2^3 \Rightarrow x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x = 3$ (kořen $x = -3$ nevyhovuje podmínce $x > 1$) — Převedeme pravou stranu na základ $3$: $27^{x - 2} = (3^3)^{x - 2} = 3^{3x - 6}$, porovnáním exponentů $2x - 1 = 3x - 6 \Rightarrow x = 5$. U logaritmické rovnice musí platit $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$; z $\log_2(x^2 - 1) = 3$ plyne $x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9$, přípustné je jen $x = 3$.

U exponenciální rovnice $x = 1$; u logaritmické rovnice $x_1 = 3$ a $x_2 = -3$

U exponenciální rovnice $x = -5$; u logaritmické rovnice $x = 5$

U exponenciální rovnice $x = 3$; u logaritmické rovnice $x = 2$

Určete souřadnice vrcholu $V$ paraboly dané předpisem $f(x) = x^2 - 6x + 5$ a její průsečíky s osami souřadnic.

Vrchol $V = [3; -4]$ (z tvaru $(x - 3)^2 - 4$), průsečík s osou $y$ je $[0; 5]$ a průsečíky s osou $x$ jsou $[1; 0]$ a $[5; 0]$ — Doplněním na čtverec dostáváme $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$, odkud $V = [3; -4]$ (nebo $x_V = -b/(2a) = 6/2 = 3$, $y_V = f(3) = -4$). Pro $x = 0$ je $y = 5$; pro $y = 0$ řešíme $(x - 1)(x - 5) = 0$.

Vrchol $V = [-3; -4]$, průsečík s osou $y$ je $[0; -5]$ a průsečíky s osou $x$ jsou $[-1; 0]$ a $[-5; 0]$

Vrchol $V = [3; 5]$, průsečík s osou $y$ je $[5; 0]$ a průsečíky s osou $x$ neexistují

Vrchol $V = [6; -4]$, průsečík s osou $y$ je $[0; 5]$ a průsečíky s osou $x$ jsou $[2; 0]$ a $[3; 0]$

Jak zní středová rovnice kružnice se středem $S = [m; n]$ a poloměrem $r$ a jak určíme střed a poloměr z obecné rovnice $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$?

Středová rovnice: $(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2$; doplněním na čtverec $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 12 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, tedy $S = [3; -2]$ a $r = 5$ — Doplněním na úplné druhé mocniny pro proměnné $x$ a $y$ převedeme obecnou rovnici na tvar $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 = 5^2$. Pozor na znaménka u středu $[m; n]$ a na to, že pravá strana udává $r^2$, nikoliv $r$.

Střed $S = [-6; 4]$ a poloměr $r = 12$

Střed $S = [-3; 2]$ a poloměr $r = 25$

Střed $S = [3; -2]$ a poloměr $r = \sqrt{12}$

Dva pracovníci by společně natřeli plot za 6 hodin. První pracovník by jej sám natřel za 10 hodin. Za jak dlouho by plot natřel druhý pracovník sám?

Za 15 hodin, neboť z rovnice $\frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$ plyne $\frac{1}{x} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{1}{15}$ — V úlohách o společné práci vyjadřujeme výkon za 1 hodinu: první udělá $1/10$ práce za hodinu, druhý $1/x$ a společně $1/6$. Rovnice $1/10 + 1/x = 1/6$ po vynásobení společným jmenovatelem $30x$ dává $3x + 30 = 5x \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15$ hodin.

Za 12 hodin, neboť průměr z 10 a 12 hodin po odečtení 6 hodin dává 12 hodin

Za 4 hodiny, protože $10 - 6 = 4$ hodiny

Za 20 hodin, protože $6 / 10 = 3 / 5$ a zbývající část trvá dvojnásobek

Jak zní v planimetrii Pythagorova věta, Eukleidovy věty (o odvěsně a o výšce) a Thaletova věta?

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou $c$: $a^2 + b^2 = c^2$; Eukleidova věta o odvěsně: $a^2 = c \cdot c_a$, $b^2 = c \cdot c_b$; o výšce: $v_c^2 = c_a \cdot c_b$; Thaletova věta: množina vrcholů C všech pravoúhlých trojúhelníků s přeponou AB je kružnice s průměrem AB (kromě bodů A a B) — Úsečky $c_a, c_b$ jsou kolmé průměty odvěsen $a, b$ do přepony $c$ ($c = c_a + c_b$). Thaletova věta je speciálním případem věty o obvodovém a středovém úhlu: středový úhel nad průměrem je přímý ($180^\circ$), takže obvodový úhel je pravý ($90^\circ$).

Eukleidova věta o odvěsně zní $a = c \cdot c_a$ a o výšce $v_c = c_a + c_b$; Thaletova věta platí pro rovnostranné trojúhelníky

Pythagorova věta platí v každém ostroúhlém trojúhelníku ve tvaru $a^2 + b^2 = c^2$

Eukleidova věta o výšce zní $v_c^2 = a^2 + b^2$ a Thaletova kružnice má poloměr rovný délce přepony $c$

Jak se liší v kombinatorice variace, permutace a kombinace bez opakování z $n$ prvků a jak znějí jejich vzorce?

Variace $k$-té třídy z $n$ prvků (záleží na pořadí): $V(k, n) = \frac{n!}{(n - k)!}$; permutace z $n$ prvků (záleží na pořadí všech $n$ prvků): $P(n) = n!$; kombinace $k$-té třídy z $n$ prvků (nezáleží na pořadí): $C(k, n) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ — Klíčová otázka u maturitních úloh z kombinatoriky zní: „Záleží na pořadí vybraných prvků?“ Pokud ano (např. rozdělení 1., 2. a 3. místa nebo tvorba čísel z různých číslic), jde o variace; pokud ne (např. výběr 3 členů výboru nebo dvojic, které si podají ruku), jde o kombinace $\binom{n}{k}$. Platí $0! = 1$ a $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$.

U kombinací záleží na pořadí prvků a u variací na pořadí nezáleží

Pro $n = 0$ platí $0! = 0$ a $\binom{n}{0} = 0$

Počet kombinací je vždy větší než počet variací téže třídy ze stejného počtu prvků

Jak se v analytické geometrii v rovině určí souřadnice vektoru $\vec{u} = B - A$, jeho velikost $|\vec{u}|$, střed úsečky $S_{AB}$ a úhel dvou vektorů pomocí skalárního součinu?

$\vec{u} = (b_1 - a_1; b_2 - a_2)$, $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$, $S_{AB} = \left[\frac{a_1 + b_1}{2}; \frac{a_2 + b_2}{2}\right]$ a $\cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$; vektory jsou kolmé právě tehdy, když $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ — Souřadnice vektoru $\vec{AB}$ počítáme jako „koncový bod minus počáteční bod“. Nulovost skalárního součinu $u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$ je nejrychlejším testem kolmosti dvou nenulových vektorů.

$\vec{u} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2)$, $S_{AB} = [b_1 - a_1; b_2 - a_2]$ a vektory jsou kolmé, když $u_1 v_1 + u_2 v_2 = 1$

Skalární součin dvou vektorů je vždy vektor kolmý na oba dané vektory

Vektory jsou rovnoběžné právě tehdy, když jejich skalární součin je roven nule

Jaká je množina všech reálných řešení kvadratické nerovnice $x^2 - 5x + 6 < 0$?

Otevřený interval $(2; 3)$, protože kořeny příslušné rovnice jsou $x_1 = 2$ a $x_2 = 3$ a parabola s kladným vedoucím koeficientem leží pod osou $x$ mezi kořeny — Rozložíme trojčlen na součin: $(x - 2)(x - 3) 0$, nabývá kvadratická funkce záporných hodnot uvnitř intervalu mezi kořeny, tj. $x \in (2; 3)$.

Sjednocení intervalů $(-\infty; 2) \cup (3; \infty)$

Uzavřený interval $\langle 2; 3 \rangle$

Kolik litrů 30% roztoku a kolik litrů 80% roztoku musíme smíchat, abychom získali 50 litrů 50% roztoku?

30 litrů 30% roztoku a 20 litrů 80% roztoku, neboť z rovnice $0{,}30x + 0{,}80(50 - x) = 0{,}50 \cdot 50$ plyne $-0{,}50x = -15 \Rightarrow x = 30$ — Bilance čisté látky: množství čisté látky v první složce ($0{,}3x$) plus v druhé složce ($0{,}8(50 - x)$) se rovná množství čisté látky ve výsledné směsi ($0{,}5 \cdot 50 = 25$). Odtud $0{,}3x + 40 - 0{,}8x = 25 \Rightarrow 0{,}5x = 15 \Rightarrow x = 30\text{ l}$.

25 litrů 30% roztoku a 25 litrů 80% roztoku

20 litrů 30% roztoku a 30 litrů 80% roztoku

35 litrů 30% roztoku a 15 litrů 80% roztoku

Jaký je definiční obor funkce $f(x) = \log_a(x)$ ($a > 0, a \neq 1$) a jaká pravidla platí pro logaritmus součinu, podílu a mocniny?

Definiční obor je $D(f) = (0; \infty)$; platí $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$ a $\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$ (pro $x, y > 0$) — Argument logaritmu musí být ostře kladný ($x > 0$). Pro každý přípustný základ $a$ platí $\log_a 1 = 0$ a $\log_a a = 1$. Pro $a > 1$ je funkce rostoucí, pro $0 < a < 1$ klesající.

Definiční obor je $\mathbb{R}$; platí $\log_a(x + y) = \log_a x \cdot \log_a y$ a $\log_a(x^r) = (\log_a x)^r$

Definiční obor je $\langle 0; \infty)$; platí $\log_a(xy) = \log_a x \cdot \log_a y$ a $\log_a(1) = a$

Definiční obor je $(1; \infty)$; pro $a \in (0; 1)$ je logaritmická funkce rostoucí

Řešte v oboru reálných čísel rovnici s absolutní hodnotou $|2x - 6| = 10$.

Dvě řešení: $x_1 = 8$ a $x_2 = -2$, neboť $2x - 6 = 10$ nebo $2x - 6 = -10$ — Rovnice $|A| = c$ pro $c > 0$ se rozpadá na dvě lineární rovnice: $2x - 6 = 10 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x_1 = 8$ a $2x - 6 = -10 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x_2 = -2$.

Jediné řešení $x = 8$, protože absolutní hodnota je vždy nezáporná

Dvě řešení: $x_1 = 8$ a $x_2 = -8$

Dvě řešení: $x_1 = 2$ a $x_2 = -8$

Jaké jsou přesné hodnoty goniometrických funkcí $\sin$, $\cos$ a $\text{tg}$ pro základní úhly $30^\circ$ ($\pi/6$), $45^\circ$ ($\pi/4$) a $60^\circ$ ($\pi/3$) a základní goniometrické identity?

$\sin 30^\circ = 1/2$, $\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$, $\text{tg } 30^\circ = \sqrt{3}/3$; $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \sqrt{2}/2$, $\text{tg } 45^\circ = 1$; $\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$, $\cos 60^\circ = 1/2$, $\text{tg } 60^\circ = \sqrt{3}$; platí $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ a $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ — Hodnoty pro $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ si lze zapamatovat jako $\sqrt{0}/2, \sqrt{1}/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, \sqrt{4}/2$ pro sinus (a v opačném pořadí pro kosinus). Pro dvojnásobný úhel dále platí $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\sin 30^\circ = \sqrt{3}/2$, $\cos 30^\circ = 1/2$; $\text{tg } 45^\circ = 0$; platí $\sin^2 x - \cos^2 x = 1$

$\sin 30^\circ = 1/3$, $\sin 45^\circ = 1/2$, $\sin 60^\circ = 2/3$; platí $\sin(2x) = 2\sin x$

$\cos 60^\circ = \sqrt{3}/2$, $\text{tg } 60^\circ = 1/3$; platí $\cos(2x) = 2\cos^2 x + 1$

V jakém poměru se mění obvod, obsah a objem podobných útvarů při koeficientu podobnosti $k$ (např. na mapě v měřítku $1 : 50\,000$)?

Délkové rozměry a obvody se mění v poměru $k$ ($O' = k \cdot O$), plošné obsahy a povrchy s druhou mocninou $k^2$ ($S' = k^2 \cdot S$) a objemy se třetí mocninou $k^3$ ($V' = k^3 \cdot V$) — Klasický chyták testů Cermat JPZ i státní maturity: zvětšíme-li každou hranu tělesa $k$-krát (např. $3$-krát), zvětší se jeho povrch $k^2 = 9$-krát a jeho objem $k^3 = 27$-krát. Na mapě $1 : 50\,000$ odpovídá $1\text{ cm}$ ve skutečnosti $500\text{ m} = 0{,}5\text{ km}$, takže $1\text{ cm}^2$ na mapě představuje $(0{,}5\text{ km})^2 = 0{,}25\text{ km}^2 = 25\text{ ha}$.

Obvody, obsahy i objemy se mění shodně v lineárním poměru $k$

Obsahy se mění v poměru $2k$ a objemy v poměru $3k$

Při zvětšení hrany krychle na dvojnásobek ($k = 2$) se její povrch i objem zvětší na dvojnásobek

Jak se mění graf funkce $y = f(x)$ při posunech $y = f(x - a) + b$ a při zobrazeních $y = |f(x)|$ a $y = -f(x)$?

Graf $y = f(x - a) + b$ vznikne posunutím o $a$ ve směru osy $x$ (pro $a > 0$ doprava) a o $b$ ve směru osy $y$ (pro $b > 0$ nahoru); $y = |f(x)|$ převrátí zápornou část grafu pod osou $x$ osově souměrně nad osu $x$; $y = -f(x)$ převrátí celý graf podle osy $x$ — Posun ve směru osy $x$ u $f(x - a)$ působí proti znaménku uvnitř závorky (nulový bod argumentu $x - a = 0$ nastává v $x = a$). Absolutní hodnota na celé funkci $|f(x)|$ ponechá část nad osou $x$ beze změny a část pod osou $x$ překlopí nad osu $x$.

Graf $y = f(x - 3)$ vznikne posunutím grafu $f(x)$ o 3 jednotky doleva

Graf $y = |f(x)|$ vymaže část grafu pro $x < 0$ a nahradí ji souměrnou částí podle osy $y$

Graf $y = -f(x)$ je osově souměrný s grafem $y = f(x)$ podle osy $y$

Jak vypadá parametrické, obecné a směrnicové vyjádření přímky v rovině a jak se vypočítá vzdálenost bodu $M = [m_1; m_2]$ od přímky $p: ax + by + c = 0$?

Parametrické: $x = a_1 + t u_1,\ y = a_2 + t u_2$ ($t \in \mathbb{R}$, $\vec{u}$ směrový vektor); obecné: $ax + by + c = 0$ ($\vec{n} = (a; b)$ normálový vektor); směrnicové: $y = kx + q$ ($k = \text{tg } \alpha$); vzdálenost bodu od přímky: $d(M, p) = \frac{|a m_1 + b m_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ — Ze směrového vektoru $\vec{u} = (u_1; u_2)$ získáme normálový (kolmý) vektor prohozením souřadnic a změnou jednoho znaménka: $\vec{n} = (-u_2; u_1)$ nebo $(u_2; -u_1)$.

V obecné rovnici $ax + by + c = 0$ je $(a; b)$ směrový vektor přímky a vzdálenost bodu od přímky je $|a m_1 + b m_2 + c|$

Směrnice $k$ v rovnici $y = kx + q$ udává průsečík přímky s osou $y$

Normálový vektor $\vec{n} = (a; b)$ je rovnoběžný se směrovým vektorem $\vec{u} = (u_1; u_2)$

Určete definiční obor a obor hodnot funkce $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ v oboru reálných čísel.

Definiční obor $D(f) = \langle -2; 2 \rangle$ (neboť $4 - x^2 \ge 0$) a obor hodnot $H(f) = \langle 0; 2 \rangle$ (grafem je horní půlkružnice se středem v počátku a poloměrem $r = 2$) — Podmínka sudé odmocniny zní $4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \le 4 \Leftrightarrow |x| \le 2$, tedy $x \in \langle -2; 2 \rangle$. Protože $0 \le 4 - x^2 \le 4$, nabývá $\sqrt{4 - x^2}$ hodnot z intervalu $\langle 0; 2 \rangle$.

Definiční obor $D(f) = (-\infty; -2\rangle \cup \langle 2; \infty)$ a obor hodnot $H(f) = \langle 0; \infty)$

Definiční obor $D(f) = (-2; 2)$ a obor hodnot $H(f) = \langle -2; 2 \rangle$

Definiční obor $D(f) = \langle 0; 4 \rangle$ a obor hodnot $H(f) = \langle 0; 4 \rangle$

Jaká je délka tělesové úhlopříčky $u_t$ kvádru o hranách $a, b, c$ a krychle o hraně $a$ a jaký úhel svírá tělesová úhlopříčka krychle s rovinou podstavy?

V kvádru $u_t = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, v krychli $u_t = a\sqrt{3}$ (stěnová $u_s = a\sqrt{2}$); pro úhel $\varphi$ s rovinou podstavy platí $\text{tg } \varphi = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (resp. $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{3}$, tj. $\varphi \approx 35^\circ 16'$) — Tělesová úhlopříčka krychle tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami $a$ (svislá hrana) a $u_s = a\sqrt{2}$ (stěnová úhlopříčka v podstavě). Proto $\text{tg } \varphi = a / (a\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \neq \text{tg } 45^\circ$ (častý chyták v maturitních testech!).

V kvádru $u_t = a + b + c$, v krychli $u_t = a\sqrt{2}$ a s rovinou podstavy svírá úhel přesně $45^\circ$

V krychli $u_t = 3a$ a s rovinou podstavy svírá úhel $60^\circ$

V krychli $u_t = a\sqrt{3}$ a s rovinou podstavy svírá úhel $30^\circ$, protože $\sin 30^\circ = 1/2$

Vlak o délce 200 metrů jede stálou rychlostí $72\text{ km/h}$. Za jak dlouho projede tunelem o délce 1 kilometr (od okamžiku, kdy lokomotiva vjede do tunelu, do okamžiku, kdy poslední vagón tunel opustí)?

Za 60 sekund (1 minutu), protože $72\text{ km/h} = 20\text{ m/s}$ a vlak musí urazit celkovou dráhu $s = 1000\text{ m} + 200\text{ m} = 1200\text{ m}$, tedy $t = 1200 / 20 = 60\text{ s}$ — Při převodu jednotek rychlosti dělíme číslem $3{,}6$: $72\text{ km/h} = 72 / 3{,}6 = 20\text{ m/s}$. Aby celý vlak opustil tunel, musí čelo vlaku urazit délku tunelu PLUS vlastní délku vlaku ($1000 + 200 = 1200\text{ m}$).

Za 50 sekund, protože $t = 1000\text{ m} / (20\text{ m/s}) = 50\text{ s}$

Za 40 sekund, protože od délky tunelu odečteme délku vlaku ($800 / 20 = 40\text{ s}$)

Za 16,7 sekundy, protože $1200 / 72 = 16{,}7\text{ s}$

Cena zboží byla nejprve zvýšena o 20 % a poté byla nová cena snížena o 20 %. Jak se výsledná cena liší od původní ceny?

Výsledná cena tvoří 96 % původní ceny, tedy je o 4 % nižší než původní cena ($1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96$) — Původní cenu $C$ vynásobíme koeficientem růstu $1{,}20$ a následně z nové ceny $1{,}20C$ vypočítáme $80\,\%$ ($0{,}80$): $1{,}20 \cdot 0{,}80 \cdot C = 0{,}96C$. Pokles o $20\,\%$ se totiž počítá z vyšší základny.

Výsledná cena je přesně rovna původní ceně (100 %), protože zvýšení a snížení o 20 % se navzájem vyruší

Výsledná cena tvoří 98 % původní ceny, tedy je o 2 % nižší než původní cena

Výsledná cena tvoří 104 % původní ceny, tedy je o 4 % vyšší než původní cena

Jaké jsou oficiální parametry didaktického testu Cermat z matematiky u jednotné přijímací zkoušky (JPZ) na čtyřleté obory SŠ a u společné části státní maturity?

JPZ matematika: 70 minut, max. 50 bodů, 16 úloh (bez kalkulačky, rýsovací potřeby povoleny); Státní maturita matematika: 135 minut, max. 50 bodů, hranice úspěšnosti 33 % (17 bodů) — U přijímací zkoušky JPZ z matematiky mají uchazeči 70 minut na 16 úloh (max. 50 bodů) a nesmějí používat kalkulačku ani Matematické, fyzikální a chemické tabulky. U státní maturity trvá test 135 minut, má max. 50 bodů, hranice úspěšnosti činí 33 % (17 bodů) a povoleny jsou tabulky i kalkulačka bez grafického režimu a CAS.

JPZ matematika: 60 minut, max. 50 bodů, 30 úloh; Státní maturita matematika: 85 minut, max. 50 bodů, hranice úspěšnosti 44 % (22 bodů)

JPZ matematika: 90 minut, max. 100 bodů, kalkulačka povolena; Státní maturita matematika: 120 minut, hranice úspěšnosti 50 %

JPZ matematika: 45 minut, max. 30 bodů; Státní maturita matematika: 150 minut, max. 60 bodů, hranice úspěšnosti 25 %

Kdy použijeme v obecném trojúhelníku sinovou větu a kdy kosinovou větu a jak obě věty znějí?

Sinová věta: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$ (známe-li stranu a dva úhly nebo dvě strany a úhel proti jedné z nich); kosinová věta: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$ (známe-li dvě strany a úhel jimi sevřený nebo všechny tři strany) — V sinové větě je $R$ poloměr kružnice trojúhelníku opsané. Kosinová věta je zobecněním Pythagorovy věty pro obecný trojúhelník (pro $\gamma = 90^\circ$ je $\cos 90^\circ = 0$ a přechází v $c^2 = a^2 + b^2$). Obsah trojúhelníku je $S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma$.

Sinová věta: $a \cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \beta$; kosinová věta: $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\sin \gamma$

Obě věty platí výhradně v pravoúhlém trojúhelníku

Kosinová věta zní $\cos \gamma = (a + b) / c$ a sinová věta určuje obsah trojúhelníku $S = a \cdot b \cdot \sin \gamma$

Jak se vypočítá délka kružnicového oblouku a obsah kruhové výseče se středovým úhlem $\alpha$ (ve stupních) v kruhu o poloměru $r$ a jak zní vzorec pro obsah lichoběžníku?

Délka oblouku $l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, obsah kruhové výseče $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$; obsah lichoběžníku se základnami $a, c$ a výškou $v$ je $S = \frac{(a + c) \cdot v}{2}$ — Plný úhel $360^\circ$ odpovídá obvodu kruhu $o = 2\pi r$ a obsahu kruhu $S = \pi r^2$, proto úhlu $\alpha$ přísluší zlomek $\alpha / 360^\circ$. U lichoběžníku je $(a + c)/2$ délka střední příčky.

Délka oblouku $l = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi r^2$, obsah kruhové výseče $S = 2\pi r$; obsah lichoběžníku $S = a \cdot c \cdot v$

Délka oblouku $l = \alpha \cdot r$, obsah výseče $S = \alpha \cdot r^2$; obsah lichoběžníku $S = (a - c) \cdot v$

Obsah kruhové výseče je $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ a obsah lichoběžníku je $S = (a + c) \cdot v$

Jak se definují a počítají ve popisné statistice aritmetický průměr (prostý a vážený), medián a modus?

Prostý aritmetický průměr $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$, vážený průměr $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$; medián je prostřední hodnota uspořádaného souboru (pro sudé $n$ průměr dvou prostředních hodnot); modus je hodnota s nejvyšší četností výskytu — Před určením mediánu je nutné soubor nejprve seřadit podle velikosti (vzestupně či sestupně)! Pro lichý počet prvků $n = 2k + 1$ je medián $(k + 1)$-ní prvek, pro sudý počet $n = 2k$ je to aritmetický průměr $k$-tého a $(k + 1)$-ního prvku. Medián je na rozdíl od průměru odolný (robustní) vůči extrémním odlehlým hodnotám.

Medián je vždy roven aritmetickému průměru nejmenší a největší hodnoty v souboru

Modus je prostřední hodnota seřazeného souboru a medián je nejčastější hodnota

Při přidání extrémně odlehlé hodnoty se medián změní výrazně více než aritmetický průměr

Zjednodušte lomený výraz $(x^2 - 9) / (x^2 - 6x + 9)$ a určete podmínky jeho definovanosti v oboru reálných čísel.

Po rozkladu $(x - 3)(x + 3) / (x - 3)^2 = (x + 3) / (x - 3)$ při podmínce $x \neq 3$ — Čitatel rozložíme podle vzorce $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ na $(x - 3)(x + 3)$ a jmenovatel podle $(a - b)^2$ na $(x - 3)^2$. Podmínku určujeme před krácením ze jmenovatele: $(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Po zkrácení $(x - 3) / (x + 3)$ při podmínce $x \neq -3$ a $x \neq 3$

Výraz nelze zkrátit a je definován pro všechna reálná čísla $x \in \mathbb{R}$

Po zkrácení $x^2$ dostaneme $-9 / (-6x + 9) = 3 / (2x - 3)$ pro $x \neq 1{,}5$

Jak zní vzorce pro $n$-tý člen $a_n$ a součet $s_n$ prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti s prvním členem $a_1$ a diferencí $d$?

$a_n = a_1 + (n - 1)d$ a $s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]$ — V aritmetické posloupnosti je rozdíl dvou sousedních členů konstantní ($a_{n+1} - a_n = d$). Součet prvních $n$ členů je součinem počtu členů $n$ a aritmetického průměru prvního a posledního sčítaného členu.

$a_n = a_1 \cdot d^{n - 1}$ a $s_n = a_1 \cdot \frac{d^n - 1}{d - 1}$

$a_n = a_1 + n \cdot d$ a $s_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

$a_n = (n - 1)a_1 + d$ a $s_n = \frac{a_1 + a_n}{2}$

Za jaké podmínky pro koeficienty má soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých $a_1 x + b_1 y = c_1$ a $a_2 x + b_2 y = c_2$ právě jedno řešení, nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení?

Právě jedno řešení (různoběžky), nejsou-li koeficienty u neznámých úměrné ($a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$); nekonečně mnoho řešení (totožné přímky), jsou-li úměrné koeficienty u neznámých i pravé strany; žádné řešení (rovnoběžky různé), jsou-li koeficienty u neznámých úměrné, ale pravé strany v tomto poměru nejsou — Geometricky představuje každá rovnice přímku v rovině. Dvě přímky v rovině jsou buď různoběžné (1 společný bod = 1 řešení), nebo rovnoběžné splývající (nekonečně mnoho bodů přímky), anebo rovnoběžné různé (prázdný průnik = 0 řešení).

Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých má v oboru reálných čísel vždy právě dvě řešení

Soustava nemá žádné řešení právě tehdy, když $c_1 = c_2 = 0$

Soustava má nekonečně mnoho řešení, když jsou příslušné přímky na sebe kolmé

Jak je definována klasická (Laplaceova) pravděpodobnost jevu $A$, jaká je pravděpodobnost opačného jevu $A'$ a jak se počítá Bernoullovo schéma pro nezávislé pokusy?

$P(A) = \frac{m}{n}$ (počet příznivých výsledků dělený počtem všech stejně možných výsledků), $P(A') = 1 - P(A)$; pravděpodobnost, že v $n$ nezávislých pokusech s pravděpodobností úspěchu $p$ nastane jev právě $k$-krát, je $P_n(k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$ — Jev „alespoň jednou“ (např. při $n$ hodech padne aspoň jedna šestka) řešíme vždy přes opačný jev „ani jednou“: $P(\text{alespoň jednou}) = 1 - P(\text{ani jednou}) = 1 - (5/6)^n$.

$P(A) = \frac{n}{m}$, $P(A') = \frac{1}{P(A)}$ a pro sjednocení jakýchkoliv jevů platí $P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$

Pravděpodobnost může nabývat libovolné reálné hodnoty z intervalu $(-1; 1)$

Pravděpodobnost jevu „alespoň jednou“ při $n$ hodech kostkou je rovna $n \cdot \frac{1}{6}$

Cermat JPZ & Státní maturita z matematiky — Rovnice, funkce, posloupnosti, geometrie, kombinatorika a pravděpodobnost

Kompletní příprava na jednotnou přijímací zkoušku (JPZ: 70 minut, max. 50 bodů, 16 úloh) a didaktický test společné části státní maturity Cermat z matematiky (135 minut, max. 50 bodů, hranice úspěšnosti 33 % / 17 bodů): algebraické výrazy, rovnice a nerovnice, funkce, aritmetické a geometrické posloupnosti, finanční matematika, planimetrie, stereometrie, analytická geometrie, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika.

Level: basic
Languages: cs → cs
Cards: 32
Markdown: Cermat JPZ & Státní maturita z matematiky — Rovnice, funkce, posloupnosti, geometrie, kombinatorika a pravděpodobnost (.md)

Flashcards (32)