三元一次线性方程组 $AX = B$（克拉默法则 Cramer's Rule）出现“唯一解”“无穷多解”与“无解（矛盾方程）”的行列式判定条件是什么？

记系数行列式为 $\Delta = \det(A)$，将常数列 $B$ 依次替换第 $1, 2, 3$ 列所得行列式为 $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$： 1）**$\Delta \neq 0$**：方程组有**唯一解** $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$； 2）**$\Delta = 0$ 且 $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$**：方程组有**无穷多解**（或当三平面平行/两两相交于平行线时退化无解，需进一步作高斯消元）； 3）**$\Delta = 0$ 但 $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ 中至少有一个不为 $0$**：方程组**必无解**。

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）证明整除性命题（如“证明 $7^n + 3n - 1$ 能被 9 整除”）的标准三步法与拆项技巧是什么？

1）当 $n = 1$ 时验证成立； 2）假设当 $n = k$（$k \in \mathbb{Z}^+$）时命题成立，即设 **$7^k + 3k - 1 = 9M$**（其中 $M$ 为整数），从而将最高次项表示为 **$7^k = 9M - 3k + 1$**； 3）当 $n = k + 1$ 时，将 $7^{k+1} = 7 \cdot 7^k$ 中的 $7^k$ 代入上式：$= 7(9M - 3k + 1) + 3(k+1) - 1 = 63M - 18k + 9 = 9(7M - 2k + 1)$，提取公因式 $9$ 即可一步证毕。

微积分基本极限：$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$、$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$、$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x}$ 以及从基本原理求导（First Principles）的定义式是什么？

- 三大核心极限：（$x$ 必须为弧度 radians） 1）**$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$**（推论：$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$） 2）**$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$** 3）**$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$**； - **基本原理求导（First Principles）**：$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$。

平面解三角形中，正弦定理（Sine Formula）、余弦定理（Cosine Formula）及三角形面积的五种高频求法是什么？

- **正弦定理**：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（$R$ 为外接圆半径）； - **余弦定理**：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \implies \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$； - **三角形面积五大公式**： 1）$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ 2）**海伦公式（Heron's Formula）**：$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中半周长 $s = \frac{a+b+c}{2}$ 3）内切圆半径法：$S = r \cdot s$（$r$ 为内切圆半径） 4）外接圆半径法：$S = \frac{abc}{4R}$ 5）向量夹角法：$S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2}$。

积分学核心方法：换元积分法（Integration by Substitution）、分部积分法（Integration by Parts）以及定积分的四大对称奇偶性质是什么？

- **分部积分法**：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$（选 $u$ 优先顺序口诀 **LIATE**：Logarithmic 对数 > Inverse trig > Algebraic 多项式 > Trigonometric 三角 > Exponential 指数）； - **定积分黄金性质（M2 必考证明题）**： 1）奇偶性：在对称区间 $[-a, a]$ 上，若 $f(x)$ 为**奇函数（$f(-x) = -f(x)$）**，则 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$；若为**偶函数**，则 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$； 2）区间反转代换：**$\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a - x)\,dx$**（更一般地，$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$）。

在解析几何中，圆的一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的圆心与半径公式，以及直线与圆相交、相切、相离的两种判定方法是什么？

- 圆心坐标：**$G = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$**，半径 **$r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$**； - **直线 $Ax + By + C = 0$ 与圆的位置关系判定**： 1）**几何法（圆心距 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ vs. $r$）**：$d r$ 相离； 2）**代数法（代入消元得二次方程判别式 $\Delta$）**：$\Delta > 0$ 两交点；$\Delta = 0$ 相切；$\Delta < 0$ 无交点。

圆的几何性质（Circle Geometry）中，圆心角与圆周角、内接四边形及“弦切角定理（Angle in Alternate Segment）”的核心结论是什么？

1）同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍（半圆上的圆周角必为 $90^\circ$）； 2）圆内接四边形对角互补（$\angle A + \angle C = 180^\circ$），外角等于内对角； 3）垂径定理：垂直于弦的直径平分该弦； 4）**交错弓形的圆周角（弦切角定理）**：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，等于该弦所夹弧上的圆周角； 5）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两切线夹角。

如何利用定积分求平面曲线围成的面积（Area）以及绕 $x$ 轴或 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积（Volume of Revolution）？

- **两曲线间面积**：在 $[a, b]$ 上，面积 $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx = \int_a^b (y_{\text{上}} - y_{\text{下}})\,dx$； - **旋转体体积（圆盘法/垫圈法 Disc/Washer Method）**： 1）绕 $x$ 轴旋转一周：**$V_x = \pi \int_a^b y^2\,dx$**（两曲线间空心旋转体为 $\pi \int_a^b (y_{\text{外}}^2 - y_{\text{内}}^2)\,dx$）； 2）绕 $y$ 轴旋转一周：**$V_y = \pi \int_c^d x^2\,dy$**。

HKDSE M2 三角恒等式：和差角公式、二倍角公式及核心“和差化积（Sum-to-Product）与积化和差（Product-to-Sum）”公式是什么？

- **二倍角**：$\sin 2x = 2\sin x\cos x$，$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$（降幂公式：$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$）； - **和差化积（口诀：正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦）**： - $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ - $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ - $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ - $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$。

微积分求导法则：乘积法则（Product Rule）、商法则（Quotient Rule）、链式法则（Chain Rule）及指数/对数/三角函数的导数公式是什么？

- 乘积：$(uv)' = u'v + uv'$；商：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$；链式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$； - 基本导数： - $(e^{kx})' = ke^{kx}$，$(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(a^x)' = a^x\ln a$ - $(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$，$(\tan x)' = \sec^2 x$。

台湾学测数B专考考点：球面经纬度与大圆弧长、单点透视法（消失点 Vanishing Point）与黄金分割比 $\phi$ 的核心公式是什么？

1）**地球经纬度距离（设地球半径 $R$）**： - 同一经线上纬度差 $\Delta\theta$ 的大圆弧长 $= R\cdot\Delta\theta$（弧度）； - **北纬/南纬 $\alpha$ 纬线圈的半径为 $r = R\cos\alpha$**，故该纬线圈上经度差 $\Delta\phi$ 的纬线弧长 $= (R\cos\alpha)\cdot\Delta\phi$； 2）**黄金比例**：$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$（满足 $\phi^2 = \phi + 1$，$\frac{1}{\phi} = \phi - 1 \approx 0.618$）； 3）**单点透视法**：三维空间中相互平行且不平行于画布的直线，在透视画布上的延长线必交于同一个**消失点（灭点）**。

排列与组合（Permutation & Combination）中，“相邻捆绑法”“不相邻插空法”“相同物隔板法（Stars and Bars）”如何区分应用？

1）**相邻问题（捆绑法）**：要求 $k$ 个元素相邻，先将这 $k$ 个元素捆成一个大元素参与外部排列，再乘以内部排列 $k!$； 2）**不相邻问题（插空法）**：要求 $m$ 个元素互不相邻，先排其余 $n$ 个无限制元素（产生 $n+1$ 个空位），再从 $n+1$ 个空位中选 $m$ 个排入，共 $n! \cdot P_{m}^{n+1}$ 种； 3）**相同物品分配（隔板法）**：将 $n$ 个完全相同的球分给 $k$ 个不同的人： - 每人至少 1 个：**$C_{k-1}^{n-1}$**； - 允许有人为 0 个（非负整数解 $x_1 + \dots + x_k = n$）：**$C_{k-1}^{n+k-1} = H_n^k$**。

复数（Complex Numbers）中，极坐标形式（Polar Form）、棣莫弗定理（De Moivre's Theorem）及复平面上的轨迹（Locus）如何求解？

- 设 $z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，其中模长 $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，幅角 $\theta = \arg(z)$； - **棣莫弗定理**：$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$；1 的 $n$ 次方根均匀分布在单位圆上； - **复平面常见轨迹**： 1）$|z - z_1| = r$：以 $z_1$ 为圆心、$r$ 为半径的**圆**； 2）$|z - z_1| = |z - z_2|$：连接 $z_1$ 与 $z_2$ 线段的**垂直平分线**。

线性规划（Linear Programming）与正比例/反比例/联变/部分变（Variations）在 HKDSE Core 数学中的解题步骤是什么？

1）**变分（Variation）**：若 $z$ 一部分为常数，另一部分随 $x$ 正变且随 $y^2$ 反变（部分变 Partly varies），必设方程为 **$z = k_1 + \frac{k_2 x}{y^2}$**（含有两个非零常数 $k_1, k_2$，代入两组已知数据联立求解）； 2）**线性规划**：画出二元一次不等式组的可行域（Feasible Region），目标函数 $P = ax + by + c$ 的最大值与最小值必在可行域多边形的**顶点（Vertices）**处取得（或利用平行线平移法判定）。

等差数列（AS / AP）与等比数列（GS / GP）的通项公式 $T_n$、前 $n$ 项和公式 $S_n$ 及无穷等比级数求和公式 $S_\infty$ 是什么？

1）**等差数列（公差 $d$）**：$T_n = a + (n - 1)d$，$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] = \frac{n(a + T_n)}{2}$； 2）**等比数列（公比 $r \neq 1$）**：$T_n = ar^{n-1}$，$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$； 3）**无穷等比级数（Infinite GS）**：仅当 **$-1 < r < 1$（且 $r \neq 0$）** 时收敛，其无穷项和为 **$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$**。

曲线渐近线（Asymptotes：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线）如何针对有理分式函数 $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 快速求出？

1）**垂直渐近线（Vertical Asymptote）**：令分母 $Q(x) = 0$（且分子不为0），得 $x = a$； 2）**水平渐近线（Horizontal Asymptote）**：计算 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$，得 $y = L$（当分子次数 $\le$ 分母次数时存在）； 3）**斜渐近线（Oblique Asymptote）**：当分子多项式次数比分母高 1 次时，用**多项式长除法**化为 $f(x) = mx + c + \frac{R(x)}{Q(x)}$，当 $x \to \pm\infty$ 时分式趋于 0，故斜渐近线即为 **$y = mx + c$**。

在多项式（Polynomials）中，余式定理（Remainder Theorem）与因式定理（Factor Theorem）如何处理除式为二次式 $(x - a)(x - b)$ 的余式问题？

1）**余式定理**：多项式 $f(x)$ 除以 $(ax - b)$ 的余式为 $R = f\left(\frac{b}{a}\right)$；当 $f\left(\frac{b}{a}\right) = 0$ 时，$(ax - b)$ 为 $f(x)$ 的因式； 2）**二次除式设余法**：当 $f(x)$ 除以二次式 $(x - a)(x - b)$ 时，余式次数必小于 2，故**必设余式为一次式 $r(x) = mx + n$**，写出恒等式 $f(x) = (x - a)(x - b)Q(x) + (mx + n)$，代入 $x = a$ 与 $x = b$ 联立二元一次方程组即可秒解 $m, n$。

条件概率（Conditional Probability）、全概率公式与贝叶斯定理（Bayes' Theorem，常见于医学筛检阳性/阴性题）的核心公式是什么？

- **条件概率**：$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$（若 $A, B$ 独立，则 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 且 $P(A \mid B) = P(A)$）； - **全概率与贝叶斯定理（以疾病检测为例）**：设患病率为 $P(D)$，未患病率为 $P(D')$，真阳性率为 $P(+\mid D)$，假阳性率为 $P(+\mid D')$，则检测呈阳性者真正患病的后验概率为： $P(D \mid +) = \frac{P(D)P(+\mid D)}{P(D)P(+\mid D) + P(D')P(+\mid D')}$

三维空间中，平面方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的法向量、空间直线的参数方程/对称式方程，以及点到平面的距离公式是什么？

- 平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的**法向量**为 $\vec{n} = (A, B, C)$； - 过点 $(x_0, y_0, z_0)$ 且方向向量为 $\vec{v} = (a, b, c)$ 的空间直线对称式方程为 $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = t$； - **点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面的垂直距离公式**： $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

在台湾学测数A与 DSE M2 中，平面与空间向量的点积（Dot Product $\vec{a}\cdot\vec{b}$）、正射影（Projection）与叉积（Cross Product $\vec{a}\times\vec{b}$）公式及几何意义是什么？

1）**点积（纯量积）**：$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$（垂直充要条件：$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$）； 2）**$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的正射影向量**：$\text{Proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}$； 3）**叉积（向量积，三维空间）**：$\vec{a}\times\vec{b}$ 是一个**同时垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的法向量**，其长度 $|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ 等于以 $\vec{a}, \vec{b}$ 为邻边的**平行四边形面积**（三角形面积为其一半）；三向量构成的平行六面体体积为 $|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|$。

矩阵（Matrices）与行列式（Determinants）中，二阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 的逆矩阵 $A^{-1}$、面积缩放性质及平面线性变换矩阵（旋转、反射、伸缩、推移）是什么？

- 行列式 $\det(A) = ad - bc$；当 $\det(A) \neq 0$ 时，逆矩阵 **$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$**； - **面积变换性质**：平面图形经矩阵 $A$ 线性变换后，新图形面积 $= |\det(A)| \times$ 原图形面积； - **三大标准线性变换矩阵**： 1）绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角：$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$； 2）关于倾角为 $\theta$ 的过原点直线反射（镜射）：$M_\theta = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$； 3）马尔可夫链转移矩阵（Markov Matrix）：每列元素之和恒为 $1$，稳定状态向量满足 $PX = X$。

台湾学测常见“最小平方法回归直线（Regression Line）”的必过定点、斜率公式 $m$ 与相关系数 $r$ 的核心性质是什么？

1）**必过样本中心点**：最小二乘回归直线 $y - \bar{y} = m(x - \bar{x})$ **必定经过样本均值点 $(\bar{x}, \bar{y})$**； 2）**相关系数与回归斜率关系**： $r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n\sigma_x\sigma_y} \in [-1, 1], \quad m = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}$ 注意：相关系数 $r$ 具有**单位不变性**（对 $x, y$ 作同向线性伸缩平移，$r$ 绝对不变；若一正一负缩放则 $r$ 变号）。

统计学中，将一组数据全部加上常数 $c$ 再乘以常数 $k$（即 $y_i = kx_i + c$），其平均数、中位数、四分位距（IQR）、标准差（SD）和方差（Variance）如何变化？

- **位置量数（平均数、中位数、众数、分位数）**：既受加减影响，也受乘除影响，变为 **$k\bar{x} + c$**； - **离散程度量数（全距 Range、四分位距 IQR、标准差 $\sigma$）**：**平移加减常数 $c$ 完全不变**，乘以 $k$ 则变为 **$|k|$ 倍**（如 $\sigma_y = |k|\sigma_x$）； - **方差（Variance $\sigma^2$）**：平移不变，乘以 $k$ 则变为 **$k^2$ 倍**（$\text{Var}(kX + c) = k^2\text{Var}(X)$）。

在财务数学与复利分期付款问题（贷款按揭 / 定期定额储蓄，常见于 DSE 卷一压轴与台湾学测）中，如何用等比数列列式求解第 $n$ 期后的结欠金额？

设贷款本金为 $P$，每期利率为 $r$，每期末固定还款额为 $M$： - 第 1 期末结欠：$A_1 = P(1+r) - M$ - 第 2 期末结欠：$A_2 = P(1+r)^2 - M(1+r) - M$ - **第 $n$ 期末结欠通式**： $A_n = P(1+r)^n - M\left[1 + (1+r) + (1+r)^2 + \dots + (1+r)^{n-1}\right] = P(1+r)^n - M\frac{(1+r)^n - 1}{r}$ 若在第 $n$ 期恰好还清贷款，令 $A_n = 0$ 即可求出每期供款 $M$ 或期数 $n$。

HKDSE 卷一压轴三维立体三角学（3D Trigonometry）中，如何准确找出“直线与平面的夹角”以及“两个平面的交角（二面角）”？

1）**直线 $AB$ 与平面 $\pi$ 的夹角**：从直线外端点 $A$ 向平面 $\pi$ 作垂线，垂足为 $H$（即投影点），连接 $BH$，则 $\angle ABH$ 即为直线与平面的夹角（满足 $\sin\angle ABH = \frac{AH}{AB}$）； 2）**两平面 $\pi_1, \pi_2$ 的二面角（交线为 $L$）**：必须在两个平面内分别找一条**同时垂直于交线 $L$ 于同一点 $P$** 的射线 $PA \perp L, PB \perp L$，则 $\angle APB$ 才是真正的两平面夹角（切忌直接把两个斜三角形的底边夹角当成平面夹角！常利用三垂线定理或先求垂高 $h$ 再反推）。

三角形的“四心”——外心（Circumcentre）、内心（Incentre）、重心（Centroid）、垂心（Orthocentre）的定义、性质及坐标规律是什么？

- **外心（三边垂直平分线交点）**：外接圆圆心，到三顶点距离相等（锐角在内部、直角在斜边中点、钝角在外部）； - **内心（三条内角平分线交点）**：内切圆圆心，到三边垂直距离相等，恒在三角形内部； - **重心（三条中线交点）**：将每条中线分为 **$2:1$**（顶点到重心 : 重心到对边中点），坐标为 **$G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$**； - **垂心（三条高线交点）**：锐角在内部、直角在直角顶点、钝角在外部。

圆锥曲线（Conic Sections：抛物线、椭圆、双曲线）的标准方程、焦点（Foci）、准线（Directrix）与渐近线公式是什么？

1）**抛物线（到焦点与准线距离相等）**：$y^2 = 4cx$（开口向右，顶点 $(0,0)$，焦点 $(c,0)$，准线 $x = -c$，正焦弦长 $= 4|c|$）； 2）**椭圆（到两焦点距离之和 $= 2a$）**：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$，满足 **$c^2 = a^2 - b^2$**，焦点 $(\pm c, 0)$，正焦弦长 $= \frac{2b^2}{a}$； 3）**双曲线（到两焦点距离之差的绝对值 $= 2a$）**：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，满足 **$c^2 = a^2 + b^2$**，焦点 $(\pm c, 0)$，**渐近线方程为 $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$（即 $y = \pm\frac{b}{a}x$）**。

对数（Logarithms）的核心运算法则、换底公式（Change of Base）以及在台湾学测/DSE 中计算一个巨大正数 $N = a^k$ 的“位数与首位数字”的方法是什么？

- 核心法则：$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$，$\log_b(M^p) = p\log_b M$，换底公式 $\log_a b = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \frac{\ln b}{\ln a}$； - **科学记号与首数/尾数法**：取常用对数 $\log_{10} N = n + \alpha$（其中整数部分首数 $n \in \mathbb{Z}$，小数部分尾数 $0 \le \alpha < 1$）： 1）若 $N \ge 1$，则 $N$ 的整数位数为 **$n + 1$ 位**（若 $N < 1$，则小数点后第 $|n|$ 位首次出现非零数字）； 2）尾数 $\alpha$ 决定 $N$ 的**最高位（首位）数字**：若 $\log_{10} m \le \alpha < \log_{10}(m+1)$，则最高位数字即为 $m$。

二次函数 $y = a(x - h)^2 + k$ 的配方法顶点坐标、对称轴，以及函数图像经过平移与反射（对称）变换后的代数表达式规律是什么？

- 顶点坐标为 $(h, k)$，对称轴为 $x = h$； - **函数图像变换（口诀：左加右减自变量，上加下减常数项）**： 1）向左平移 $p$ 个单位：$y = f(x + p)$；向右平移 $p$ 个单位：$y = f(x - p)$； 2）向上平移 $q$ 个单位：$y = f(x) + q$；向下平移 $q$ 个单位：$y = f(x) - q$； 3）沿 $x$ 轴反射（上下翻转）：$y = -f(x)$；沿 $y$ 轴反射（左右翻转）：$y = f(-x)$。

一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的判别式 $\Delta$、韦达定理（根与系数关系）及两根差 $|\alpha - \beta|$、对称式 $\alpha^2 + \beta^2, \alpha^3 + \beta^3$ 的快速变形公式是什么？

- 判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$（$\Delta > 0$ 两相异实根；$\Delta = 0$ 重根/相切；$\Delta < 0$ 无实根/恒正或恒负）； - 韦达定理：$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$，$\alpha\beta = \frac{c}{a}$； - 高频变形： - $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ - $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ - $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$。

如何利用一阶导数 $f'(x)$ 与二阶导数 $f''(x)$ 判定函数的驻点（Stationary Points：极大值点、极小值点）与拐点（Point of Inflexion）？

1）**驻点（切线水平）**：令 $f'(x_0) = 0$： - 若 $f''(x_0) 0$（或 $f'(x)$ 由负变正），则 $x_0$ 为**局部极小值点（Local Minimum）**； 2）**拐点（凹凸性改变点）**：令 $f''(x_0) = 0$，且在 $x_0$ 左右两侧 **$f''(x)$ 的正负号发生改变**（一正一负），则 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点。

在 M1 与台湾分科测验中，二项分布 $X \sim B(n, p)$、泊松分布 $X \sim \text{Po}(\lambda)$ 与正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的概率公式、期望值 $E(X)$ 与方差 $\text{Var}(X)$ 是什么？

1）**二项分布 $B(n, p)$**：$P(X = k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}$，**$E(X) = np$，$\text{Var}(X) = np(1-p)$**； 2）**泊松分布 $\text{Po}(\lambda)$**：$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，**$E(X) = \lambda$，$\text{Var}(X) = \lambda$**； 3）**正态分布标准化**：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$；样本均值 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，总体均值 $\mu$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 置信区间（Confidence Interval）为 **$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$**。

HKDSE 与台湾学测/分科测验 — 数学科（Core / M1 / M2 / 数A / 数B）：函数与多项式、三角学与立体几何、排列组合与条件概率、向量与矩阵、微积分应用

全面贯通香港 HKDSE 数学必修部分（Core）及延伸部分（M1 微积分与统计 / M2 代数与微积分）、台湾学测数A/数B与分科测验数甲的核心高频公式与秒杀解题技巧。

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Flashcards (32)

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1	三元一次线性方程组 $AX = B$（克拉默法则 Cramer's Rule）出现“唯一解”“无穷多解”与“无解（矛盾方程）”的行列式判定条件是什么？	记系数行列式为 $\Delta = \det(A)$，将常数列 $B$ 依次替换第 $1, 2, 3$ 列所得行列式为 $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$： 1）$\Delta \neq 0$：方程组有唯一解 $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$； 2）$\Delta = 0$ 且 $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$：方程组有无穷多解（或当三平面平行/两两相交于平行线时退化无解，需进一步作高斯消元）； 3）$\Delta = 0$ 但 $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ 中至少有一个不为 $0$：方程组必无解。
2	数学归纳法（Mathematical Induction, MI）证明整除性命题（如“证明 $7^n + 3n - 1$ 能被 9 整除”）的标准三步法与拆项技巧是什么？	1）当 $n = 1$ 时验证成立； 2）假设当 $n = k$（$k \in \mathbb{Z}^+$）时命题成立，即设 $7^k + 3k - 1 = 9M$（其中 $M$ 为整数），从而将最高次项表示为 $7^k = 9M - 3k + 1$； 3）当 $n = k + 1$ 时，将 $7^{k+1} = 7 \cdot 7^k$ 中的 $7^k$ 代入上式：$= 7(9M - 3k + 1) + 3(k+1) - 1 = 63M - 18k + 9 = 9(7M - 2k + 1)$，提取公因式 $9$ 即可一步证毕。
3	微积分基本极限：$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$、$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$、$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x}$ 以及从基本原理求导（First Principles）的定义式是什么？	- 三大核心极限：（$x$ 必须为弧度 radians） 1）$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$（推论：$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$） 2）$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$ 3）$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$； - 基本原理求导（First Principles）：$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$。
4	平面解三角形中，正弦定理（Sine Formula）、余弦定理（Cosine Formula）及三角形面积的五种高频求法是什么？	- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（$R$ 为外接圆半径）； - 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \implies \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$； - 三角形面积五大公式： 1）$S = \frac{1}{2}ab\sin C$ 2）海伦公式（Heron's Formula）：$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中半周长 $s = \frac{a+b+c}{2}$ 3）内切圆半径法：$S = r \cdot s$（$r$ 为内切圆半径） 4）外接圆半径法：$S = \frac{abc}{4R}$ 5）向量夹角法：$S = \frac{1}{2}\sqrt{\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2}$。
5	积分学核心方法：换元积分法（Integration by Substitution）、分部积分法（Integration by Parts）以及定积分的四大对称奇偶性质是什么？	- 分部积分法：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$（选 $u$ 优先顺序口诀 LIATE：Logarithmic 对数 > Inverse trig > Algebraic 多项式 > Trigonometric 三角 > Exponential 指数）； - 定积分黄金性质（M2 必考证明题）： 1）奇偶性：在对称区间 $[-a, a]$ 上，若 $f(x)$ 为奇函数（$f(-x) = -f(x)$），则 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$；若为偶函数，则 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$； 2）区间反转代换：$\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a - x)\,dx$（更一般地，$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$）。
6	在解析几何中，圆的一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的圆心与半径公式，以及直线与圆相交、相切、相离的两种判定方法是什么？	- 圆心坐标：$G = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$，半径 $r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$； - 直线 $Ax + By + C = 0$ 与圆的位置关系判定： 1）几何法（圆心距 $d = \frac{\|Ax_0 + By_0 + C\|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ vs. $r$）：$d < r$ 相交（弦长 $= 2\sqrt{r^2 - d^2}$）；$d = r$ 相切；$d > r$ 相离； 2）代数法（代入消元得二次方程判别式 $\Delta$）：$\Delta > 0$ 两交点；$\Delta = 0$ 相切；$\Delta < 0$ 无交点。
7	圆的几何性质（Circle Geometry）中，圆心角与圆周角、内接四边形及“弦切角定理（Angle in Alternate Segment）”的核心结论是什么？	1）同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍（半圆上的圆周角必为 $90^\circ$）； 2）圆内接四边形对角互补（$\angle A + \angle C = 180^\circ$），外角等于内对角； 3）垂径定理：垂直于弦的直径平分该弦； 4）交错弓形的圆周角（弦切角定理）：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，等于该弦所夹弧上的圆周角； 5）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两切线夹角。
8	如何利用定积分求平面曲线围成的面积（Area）以及绕 $x$ 轴或 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积（Volume of Revolution）？	- 两曲线间面积：在 $[a, b]$ 上，面积 $A = \int_a^b \|f(x) - g(x)\|\,dx = \int_a^b (y_{\text{上}} - y_{\text{下}})\,dx$； - 旋转体体积（圆盘法/垫圈法 Disc/Washer Method）： 1）绕 $x$ 轴旋转一周：$V_x = \pi \int_a^b y^2\,dx$（两曲线间空心旋转体为 $\pi \int_a^b (y_{\text{外}}^2 - y_{\text{内}}^2)\,dx$）； 2）绕 $y$ 轴旋转一周：$V_y = \pi \int_c^d x^2\,dy$。
9	HKDSE M2 三角恒等式：和差角公式、二倍角公式及核心“和差化积（Sum-to-Product）与积化和差（Product-to-Sum）”公式是什么？	- 二倍角：$\sin 2x = 2\sin x\cos x$，$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$（降幂公式：$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$）； - 和差化积（口诀：正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦）： - $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ - $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ - $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ - $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$。
10	微积分求导法则：乘积法则（Product Rule）、商法则（Quotient Rule）、链式法则（Chain Rule）及指数/对数/三角函数的导数公式是什么？	- 乘积：$(uv)' = u'v + uv'$；商：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$；链式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$； - 基本导数： - $(e^{kx})' = ke^{kx}$，$(\ln x)' = \frac{1}{x}$，$(a^x)' = a^x\ln a$ - $(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$，$(\tan x)' = \sec^2 x$。
11	台湾学测数B专考考点：球面经纬度与大圆弧长、单点透视法（消失点 Vanishing Point）与黄金分割比 $\phi$ 的核心公式是什么？	1）地球经纬度距离（设地球半径 $R$）： - 同一经线上纬度差 $\Delta\theta$ 的大圆弧长 $= R\cdot\Delta\theta$（弧度）； - 北纬/南纬 $\alpha$ 纬线圈的半径为 $r = R\cos\alpha$，故该纬线圈上经度差 $\Delta\phi$ 的纬线弧长 $= (R\cos\alpha)\cdot\Delta\phi$； 2）黄金比例：$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$（满足 $\phi^2 = \phi + 1$，$\frac{1}{\phi} = \phi - 1 \approx 0.618$）； 3）单点透视法：三维空间中相互平行且不平行于画布的直线，在透视画布上的延长线必交于同一个消失点（灭点）。
12	排列与组合（Permutation & Combination）中，“相邻捆绑法”“不相邻插空法”“相同物隔板法（Stars and Bars）”如何区分应用？	1）相邻问题（捆绑法）：要求 $k$ 个元素相邻，先将这 $k$ 个元素捆成一个大元素参与外部排列，再乘以内部排列 $k!$； 2）不相邻问题（插空法）：要求 $m$ 个元素互不相邻，先排其余 $n$ 个无限制元素（产生 $n+1$ 个空位），再从 $n+1$ 个空位中选 $m$ 个排入，共 $n! \cdot P_{m}^{n+1}$ 种； 3）相同物品分配（隔板法）：将 $n$ 个完全相同的球分给 $k$ 个不同的人： - 每人至少 1 个：$C_{k-1}^{n-1}$； - 允许有人为 0 个（非负整数解 $x_1 + \dots + x_k = n$）：$C_{k-1}^{n+k-1} = H_n^k$。
13	复数（Complex Numbers）中，极坐标形式（Polar Form）、棣莫弗定理（De Moivre's Theorem）及复平面上的轨迹（Locus）如何求解？	- 设 $z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，其中模长 $r = \|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}$，幅角 $\theta = \arg(z)$； - 棣莫弗定理：$[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$；1 的 $n$ 次方根均匀分布在单位圆上； - 复平面常见轨迹： 1）$\|z - z_1\| = r$：以 $z_1$ 为圆心、$r$ 为半径的圆； 2）$\|z - z_1\| = \|z - z_2\|$：连接 $z_1$ 与 $z_2$ 线段的垂直平分线。
14	线性规划（Linear Programming）与正比例/反比例/联变/部分变（Variations）在 HKDSE Core 数学中的解题步骤是什么？	1）变分（Variation）：若 $z$ 一部分为常数，另一部分随 $x$ 正变且随 $y^2$ 反变（部分变 Partly varies），必设方程为 $z = k_1 + \frac{k_2 x}{y^2}$（含有两个非零常数 $k_1, k_2$，代入两组已知数据联立求解）； 2）线性规划：画出二元一次不等式组的可行域（Feasible Region），目标函数 $P = ax + by + c$ 的最大值与最小值必在可行域多边形的顶点（Vertices）处取得（或利用平行线平移法判定）。
15	等差数列（AS / AP）与等比数列（GS / GP）的通项公式 $T_n$、前 $n$ 项和公式 $S_n$ 及无穷等比级数求和公式 $S_\infty$ 是什么？	1）等差数列（公差 $d$）：$T_n = a + (n - 1)d$，$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] = \frac{n(a + T_n)}{2}$； 2）等比数列（公比 $r \neq 1$）：$T_n = ar^{n-1}$，$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$； 3）无穷等比级数（Infinite GS）：仅当 $-1 < r < 1$（且 $r \neq 0$）时收敛，其无穷项和为 $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$。
16	曲线渐近线（Asymptotes：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线）如何针对有理分式函数 $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 快速求出？	1）垂直渐近线（Vertical Asymptote）：令分母 $Q(x) = 0$（且分子不为0），得 $x = a$； 2）水平渐近线（Horizontal Asymptote）：计算 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$，得 $y = L$（当分子次数 $\le$ 分母次数时存在）； 3）斜渐近线（Oblique Asymptote）：当分子多项式次数比分母高 1 次时，用多项式长除法化为 $f(x) = mx + c + \frac{R(x)}{Q(x)}$，当 $x \to \pm\infty$ 时分式趋于 0，故斜渐近线即为 $y = mx + c$。
17	在多项式（Polynomials）中，余式定理（Remainder Theorem）与因式定理（Factor Theorem）如何处理除式为二次式 $(x - a)(x - b)$ 的余式问题？	1）余式定理：多项式 $f(x)$ 除以 $(ax - b)$ 的余式为 $R = f\left(\frac{b}{a}\right)$；当 $f\left(\frac{b}{a}\right) = 0$ 时，$(ax - b)$ 为 $f(x)$ 的因式； 2）二次除式设余法：当 $f(x)$ 除以二次式 $(x - a)(x - b)$ 时，余式次数必小于 2，故必设余式为一次式 $r(x) = mx + n$，写出恒等式 $f(x) = (x - a)(x - b)Q(x) + (mx + n)$，代入 $x = a$ 与 $x = b$ 联立二元一次方程组即可秒解 $m, n$。
18	条件概率（Conditional Probability）、全概率公式与贝叶斯定理（Bayes' Theorem，常见于医学筛检阳性/阴性题）的核心公式是什么？	- 条件概率：$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$（若 $A, B$ 独立，则 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 且 $P(A \mid B) = P(A)$）； - 全概率与贝叶斯定理（以疾病检测为例）：设患病率为 $P(D)$，未患病率为 $P(D')$，真阳性率为 $P(+\mid D)$，假阳性率为 $P(+\mid D')$，则检测呈阳性者真正患病的后验概率为： $P(D \mid +) = \frac{P(D)P(+\mid D)}{P(D)P(+\mid D) + P(D')P(+\mid D')}$
19	三维空间中，平面方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的法向量、空间直线的参数方程/对称式方程，以及点到平面的距离公式是什么？	- 平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$； - 过点 $(x_0, y_0, z_0)$ 且方向向量为 $\vec{v} = (a, b, c)$ 的空间直线对称式方程为 $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = t$； - 点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面的垂直距离公式： $d = \frac{\|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
20	在台湾学测数A与 DSE M2 中，平面与空间向量的点积（Dot Product $\vec{a}\cdot\vec{b}$）、正射影（Projection）与叉积（Cross Product $\vec{a}\times\vec{b}$）公式及几何意义是什么？	1）点积（纯量积）：$\vec{a}\cdot\vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$（垂直充要条件：$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$）； 2）$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的正射影向量：$\text{Proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\right)\vec{b}$； 3）叉积（向量积，三维空间）：$\vec{a}\times\vec{b}$ 是一个同时垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的法向量，其长度 $\|\vec{a}\times\vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$ 等于以 $\vec{a}, \vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积（三角形面积为其一半）；三向量构成的平行六面体体积为 $\|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\|$。
21	矩阵（Matrices）与行列式（Determinants）中，二阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 的逆矩阵 $A^{-1}$、面积缩放性质及平面线性变换矩阵（旋转、反射、伸缩、推移）是什么？	- 行列式 $\det(A) = ad - bc$；当 $\det(A) \neq 0$ 时，逆矩阵 $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$； - 面积变换性质：平面图形经矩阵 $A$ 线性变换后，新图形面积 $= \|\det(A)\| \times$ 原图形面积； - 三大标准线性变换矩阵： 1）绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角：$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$； 2）关于倾角为 $\theta$ 的过原点直线反射（镜射）：$M_\theta = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$； 3）马尔可夫链转移矩阵（Markov Matrix）：每列元素之和恒为 $1$，稳定状态向量满足 $PX = X$。
22	台湾学测常见“最小平方法回归直线（Regression Line）”的必过定点、斜率公式 $m$ 与相关系数 $r$ 的核心性质是什么？	1）必过样本中心点：最小二乘回归直线 $y - \bar{y} = m(x - \bar{x})$ 必定经过样本均值点 $(\bar{x}, \bar{y})$； 2）相关系数与回归斜率关系： $r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n\sigma_x\sigma_y} \in [-1, 1], \quad m = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}$ 注意：相关系数 $r$ 具有单位不变性（对 $x, y$ 作同向线性伸缩平移，$r$ 绝对不变；若一正一负缩放则 $r$ 变号）。
23	统计学中，将一组数据全部加上常数 $c$ 再乘以常数 $k$（即 $y_i = kx_i + c$），其平均数、中位数、四分位距（IQR）、标准差（SD）和方差（Variance）如何变化？	- 位置量数（平均数、中位数、众数、分位数）：既受加减影响，也受乘除影响，变为 $k\bar{x} + c$； - 离散程度量数（全距 Range、四分位距 IQR、标准差 $\sigma$）：平移加减常数 $c$ 完全不变，乘以 $k$ 则变为 $\|k\|$ 倍（如 $\sigma_y = \|k\|\sigma_x$）； - 方差（Variance $\sigma^2$）：平移不变，乘以 $k$ 则变为 $k^2$ 倍（$\text{Var}(kX + c) = k^2\text{Var}(X)$）。
24	在财务数学与复利分期付款问题（贷款按揭 / 定期定额储蓄，常见于 DSE 卷一压轴与台湾学测）中，如何用等比数列列式求解第 $n$ 期后的结欠金额？	设贷款本金为 $P$，每期利率为 $r$，每期末固定还款额为 $M$： - 第 1 期末结欠：$A_1 = P(1+r) - M$ - 第 2 期末结欠：$A_2 = P(1+r)^2 - M(1+r) - M$ - 第 $n$ 期末结欠通式： $A_n = P(1+r)^n - M\left[1 + (1+r) + (1+r)^2 + \dots + (1+r)^{n-1}\right] = P(1+r)^n - M\frac{(1+r)^n - 1}{r}$ 若在第 $n$ 期恰好还清贷款，令 $A_n = 0$ 即可求出每期供款 $M$ 或期数 $n$。
25	HKDSE 卷一压轴三维立体三角学（3D Trigonometry）中，如何准确找出“直线与平面的夹角”以及“两个平面的交角（二面角）”？	1）直线 $AB$ 与平面 $\pi$ 的夹角：从直线外端点 $A$ 向平面 $\pi$ 作垂线，垂足为 $H$（即投影点），连接 $BH$，则 $\angle ABH$ 即为直线与平面的夹角（满足 $\sin\angle ABH = \frac{AH}{AB}$）； 2）两平面 $\pi_1, \pi_2$ 的二面角（交线为 $L$）：必须在两个平面内分别找一条同时垂直于交线 $L$ 于同一点 $P$ 的射线 $PA \perp L, PB \perp L$，则 $\angle APB$ 才是真正的两平面夹角（切忌直接把两个斜三角形的底边夹角当成平面夹角！常利用三垂线定理或先求垂高 $h$ 再反推）。
26	三角形的“四心”——外心（Circumcentre）、内心（Incentre）、重心（Centroid）、垂心（Orthocentre）的定义、性质及坐标规律是什么？	- 外心（三边垂直平分线交点）：外接圆圆心，到三顶点距离相等（锐角在内部、直角在斜边中点、钝角在外部）； - 内心（三条内角平分线交点）：内切圆圆心，到三边垂直距离相等，恒在三角形内部； - 重心（三条中线交点）：将每条中线分为 $2:1$（顶点到重心 : 重心到对边中点），坐标为 $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$； - 垂心（三条高线交点）：锐角在内部、直角在直角顶点、钝角在外部。
27	圆锥曲线（Conic Sections：抛物线、椭圆、双曲线）的标准方程、焦点（Foci）、准线（Directrix）与渐近线公式是什么？	1）抛物线（到焦点与准线距离相等）：$y^2 = 4cx$（开口向右，顶点 $(0,0)$，焦点 $(c,0)$，准线 $x = -c$，正焦弦长 $= 4\|c\|$）； 2）椭圆（到两焦点距离之和 $= 2a$）：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$，满足 $c^2 = a^2 - b^2$，焦点 $(\pm c, 0)$，正焦弦长 $= \frac{2b^2}{a}$； 3）双曲线（到两焦点距离之差的绝对值 $= 2a$）：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，满足 $c^2 = a^2 + b^2$，焦点 $(\pm c, 0)$，渐近线方程为 $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$（即 $y = \pm\frac{b}{a}x$）。
28	对数（Logarithms）的核心运算法则、换底公式（Change of Base）以及在台湾学测/DSE 中计算一个巨大正数 $N = a^k$ 的“位数与首位数字”的方法是什么？	- 核心法则：$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$，$\log_b(M^p) = p\log_b M$，换底公式 $\log_a b = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \frac{\ln b}{\ln a}$； - 科学记号与首数/尾数法：取常用对数 $\log_{10} N = n + \alpha$（其中整数部分首数 $n \in \mathbb{Z}$，小数部分尾数 $0 \le \alpha < 1$）： 1）若 $N \ge 1$，则 $N$ 的整数位数为 $n + 1$ 位（若 $N < 1$，则小数点后第 $\|n\|$ 位首次出现非零数字）； 2）尾数 $\alpha$ 决定 $N$ 的最高位（首位）数字：若 $\log_{10} m \le \alpha < \log_{10}(m+1)$，则最高位数字即为 $m$。
29	二次函数 $y = a(x - h)^2 + k$ 的配方法顶点坐标、对称轴，以及函数图像经过平移与反射（对称）变换后的代数表达式规律是什么？	- 顶点坐标为 $(h, k)$，对称轴为 $x = h$； - 函数图像变换（口诀：左加右减自变量，上加下减常数项）： 1）向左平移 $p$ 个单位：$y = f(x + p)$；向右平移 $p$ 个单位：$y = f(x - p)$； 2）向上平移 $q$ 个单位：$y = f(x) + q$；向下平移 $q$ 个单位：$y = f(x) - q$； 3）沿 $x$ 轴反射（上下翻转）：$y = -f(x)$；沿 $y$ 轴反射（左右翻转）：$y = f(-x)$。
30	一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的判别式 $\Delta$、韦达定理（根与系数关系）及两根差 $\|\alpha - \beta\|$、对称式 $\alpha^2 + \beta^2, \alpha^3 + \beta^3$ 的快速变形公式是什么？	- 判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$（$\Delta > 0$ 两相异实根；$\Delta = 0$ 重根/相切；$\Delta < 0$ 无实根/恒正或恒负）； - 韦达定理：$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$，$\alpha\beta = \frac{c}{a}$； - 高频变形： - $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ - $\|\alpha - \beta\| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \frac{\sqrt{\Delta}}{\|a\|}$ - $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$。
31	如何利用一阶导数 $f'(x)$ 与二阶导数 $f''(x)$ 判定函数的驻点（Stationary Points：极大值点、极小值点）与拐点（Point of Inflexion）？	1）驻点（切线水平）：令 $f'(x_0) = 0$： - 若 $f''(x_0) < 0$（或 $f'(x)$ 由正变负），则 $x_0$ 为局部极大值点（Local Maximum）； - 若 $f''(x_0) > 0$（或 $f'(x)$ 由负变正），则 $x_0$ 为局部极小值点（Local Minimum）； 2）拐点（凹凸性改变点）：令 $f''(x_0) = 0$，且在 $x_0$ 左右两侧 $f''(x)$ 的正负号发生改变（一正一负），则 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点。
32	在 M1 与台湾分科测验中，二项分布 $X \sim B(n, p)$、泊松分布 $X \sim \text{Po}(\lambda)$ 与正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的概率公式、期望值 $E(X)$ 与方差 $\text{Var}(X)$ 是什么？	1）二项分布 $B(n, p)$：$P(X = k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}$，$E(X) = np$，$\text{Var}(X) = np(1-p)$； 2）泊松分布 $\text{Po}(\lambda)$：$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，$E(X) = \lambda$，$\text{Var}(X) = \lambda$； 3）正态分布标准化：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$；样本均值 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，总体均值 $\mu$ 的 $100(1-\alpha)\%$ 置信区间（Confidence Interval）为 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。