慣性質量と受動的重力質量はどう違い、弱い等価原理は何を予測する？

慣性質量は力と加速度を結び、受動的重力質量は与えられた重力場で受ける力を決める。弱い等価原理は、非重力的な力を無視すると、同じ場・同じ初期条件の試験物体は同じ自由落下をすると予測する。

質量一定の質点からなる構成粒子の変わらないニュートン力学の系で、重心位置と加速度をどう求める？

R_cm = Σmᵢrᵢ/M、M = Σmᵢ。内力が対ごとに打ち消し合えば、M a_cm = ΣF_ext。

理想的なアトウッドの装置でm₁ > m₂、張った無質量・非伸縮の糸、摩擦なし、滑車の回転慣性を無視すると、aとTは？

a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂)で、重い物体の加速度は下向き。T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂)。

理想的な線形ばねが蓄える弾性エネルギーは？

自然長でゼロとするとU = ½kx²。xは自然長からの伸びまたは縮み、kはばね定数。

質量M、半径Rの孤立した球対称な物体の表面から、質量を無視できる試験物体が重力だけで運動するときの脱出速度は？

v_esc = √(2GM/R)で、球体の中心に対する速さ。このモデルで無限遠へ到達し、残る速さがゼロとなる最小の速さである。

運動量とは何で、構成粒子の変わらない系の全運動量はいつ保存される？

p = mvはベクトル。系についてdP/dt = ΣF_extで、外力の合計がゼロならPは一定。外力による正味の力積がゼロなら、初めと終わりのPが等しい。

初速の大きさが一定、出発と着地が同じ高さ、g一定、抵抗なしのとき、飛距離を最大にする角度は？

R = v₀²sin(2θ)/gなので、θ = 45°で最大となる。この条件では余角θと90° − θの飛距離は等しい。

エレベーター内の体重計で、aᵧを上向き正とすると垂直抗力Nは？

接触が保たれる間、N = m(g + aᵧ)。上向き加速度はNを増やし、下向き加速度は減らす。等速度ならN = mg、自由落下ならaᵧ = −g、N = 0。

外力の力積を無視できるとき、弾性衝突と非弾性衝突はどう違う？

どちらも全運動量を保存する。弾性衝突は全運動エネルギーも保存するが、非弾性衝突は保存しない。通常の散逸的衝突では運動エネルギーの一部が内部エネルギーになる。

空気抵抗がなく、gが一定で下向きの投射運動では、各成分は？

yの正を上向きとすると、aₓ = 0、vₓ = v₀cosθ、aᵧ = −g、vᵧ = v₀sinθ − gt。θは水平から上向きに測る投射角。

自然長からの変位をxとする理想的な線形ばねのフックの法則は？

Fₛ = −kx。kはばね定数。負号は、ばねの力が伸びや縮みに逆らい、自然長へ戻す向きであることを示す。

距離、変位、平均の速さ、平均速度はどう違う？

距離は経路の全長、変位は位置のベクトル変化。平均の速さは距離/経過時間、平均速度は変位/経過時間。

スカラー量とベクトル量はどう違う？

スカラーには数値と単位があり、ベクトルにはさらに向きがある。速さはスカラー、速度はベクトルである。

保存力と非保存力の仕事はどう違う？

時間に依存しない保存力の仕事は始点と終点だけで決まり、−ΔUに等しい。閉経路ではゼロ。非保存力の仕事は力学的エネルギーを増減させることがある。

向心力と遠心力はどう違う？

向心力は、慣性系で円運動の加速度を生む合力の内向き成分。遠心力は回転系で導入する外向きの慣性項で、新しい物理的相互作用ではない。

合力の力積と運動量の関係は？

J = ∫F_net dt = F_avgΔt = Δp。質量一定ならΔp = m(v_f − v_i)。いずれもベクトルの関係。

一定加速度aの一次元運動を表す式は？

v = v₀ + at、Δx = v₀t + ½at²、v² = v₀² + 2aΔx、Δx = ½(v₀ + v)t。tは経過時間、v₀は初速度。

水平に対してθ傾いた固定斜面で、重力と接触力だけを受ける物体が静止できる条件は？

N = mg cosθで、静止摩擦は斜面上向きにfₛ = mg sinθ。ただしfₛ ≤ μₛNが必要。満たさなければ静止できない。単純な滑りモデルではfₖ = μₖNが相対的な滑りに逆らう。

半径一定の円運動で、角運動の量と接線運動、全加速度の大きさはどう関係する？

符号付き接線成分はv_t = rω、a_t = rα。速さv = |v_t|に対し、内向きa_r = v²/r。両成分が直交するので全体の大きさは|a| = √(a_t² + a_r²)。

孤立した二体の円軌道に対するニュートン版ケプラー第3法則は？

T² = 4π²r³/[G(M + m)]。rは一定の二体間距離、Tは周期。m ≪ Mなら分母は約GM。

一次元運動のグラフの傾きと符号付き面積は何を表す？

x–tの傾きは速度、v–tの傾きは加速度。v–tの符号付き面積は変位、a–tの符号付き面積は速度変化を表す。

外力の力積を無視できる衝突で二つの質点が合体すると、共通の最終速度は？

v_f = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)というベクトル関係になる。完全非弾性衝突であり、並進運動エネルギーは一般に減少する。

ニュートンの重力法則と球状質量分布の重力場は？

点質量間の引力の大きさはF = GMm/r²。球対称な源の外側ではg = GM/r²で内向き。内側のr > 0ではg = GM_enc(r)/r²で、半径r内の質量を用いる。

静止流体中を落下する物体の終端の速さを定める力のつり合いは？

速度が一定で合力はゼロ：mg = 浮力 + 抵抗力。浮力が無視できれば抵抗力 = mg。抵抗則は流れの状態による。

質量一定のニュートン力学の質点に対する仕事とエネルギーの定理は？

合計の仕事は運動エネルギー変化に等しい：W_net = ΔK = ½m(v_f² − v_i²)。

等速円運動に加速度があるのはなぜで、その値は？

速さは一定でも速度の向きが変わる。加速度は内向きで、大きさはa_c = v²/r = ω²r。

理想的な直線ロケット噴射に対するツィオルコフスキーの式と仮定は？

Δv = v_e ln(m₀/m_f)。ロケットに対する有効排気速度v_eが一定で、外力を無視する。m₀とm_fはロケットの全質量で、m_fには残った推進剤が含まれ得るため、乾燥質量とは限らない。

瞬間の速度と加速度を微分でどう定義する？

v = dr/dt、a = dv/dt = d²r/dt²。rは位置ベクトルで、対応する微分が存在することが前提。

通常の質点モデルでポテンシャルが時間に依存しないとき、K + Uが保存される条件は？

保存力だけが仕事をすればK + Uは一定。一般にはΔ(K + U) = W_ncなので、非保存力の総仕事がゼロなら十分。

ある力の瞬間の力学的仕事率はどう求める？

P = dW/dt = F·v = |F||v|cosθ。F·vはベクトルの内積、θは力と速度のなす角。1 W = 1 J/s。

平坦なカーブを滑らずに走る車、円軌道の衛星、円すい振り子には、何が内向き加速度を与える？

車：静止摩擦。衛星：重力。円すい振り子：張力の水平成分T sinθで、θは鉛直からの角度。向心力は追加の相互作用ではない。

地表近くと点質量間では、どの重力ポテンシャルエネルギー式を使う？

地表近くの一様場ではh = 0を基準にU = mgh。点質量間では無限遠をゼロとしてU = −GMm/r。重ならない球対称の質量分布にも適用でき、rは中心間距離。

力学の基礎：運動・力・エネルギー・運動量

高校から大学初年次の力学向けの復習カード32枚。運動、力、エネルギー、運動量、円運動、重力を扱い、一部で微積分を用います。

Level: basic
Languages: ja → ja
Cards: 32
Markdown: 力学の基礎：運動・力・エネルギー・運動量 (.md)

Flashcards (32)

#	Front (Term / Question)	Back (Definition / Answer)
1	慣性質量と受動的重力質量はどう違い、弱い等価原理は何を予測する？	慣性質量は力と加速度を結び、受動的重力質量は与えられた重力場で受ける力を決める。弱い等価原理は、非重力的な力を無視すると、同じ場・同じ初期条件の試験物体は同じ自由落下をすると予測する。
2	質量一定の質点からなる構成粒子の変わらないニュートン力学の系で、重心位置と加速度をどう求める？	R_cm = Σmᵢrᵢ/M、M = Σmᵢ。内力が対ごとに打ち消し合えば、M a_cm = ΣF_ext。
3	理想的なアトウッドの装置でm₁ > m₂、張った無質量・非伸縮の糸、摩擦なし、滑車の回転慣性を無視すると、aとTは？	a = (m₁ − m₂)g/(m₁ + m₂)で、重い物体の加速度は下向き。T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂)。
4	理想的な線形ばねが蓄える弾性エネルギーは？	自然長でゼロとするとU = ½kx²。xは自然長からの伸びまたは縮み、kはばね定数。
5	質量M、半径Rの孤立した球対称な物体の表面から、質量を無視できる試験物体が重力だけで運動するときの脱出速度は？	v_esc = √(2GM/R)で、球体の中心に対する速さ。このモデルで無限遠へ到達し、残る速さがゼロとなる最小の速さである。
6	運動量とは何で、構成粒子の変わらない系の全運動量はいつ保存される？	p = mvはベクトル。系についてdP/dt = ΣF_extで、外力の合計がゼロならPは一定。外力による正味の力積がゼロなら、初めと終わりのPが等しい。
7	初速の大きさが一定、出発と着地が同じ高さ、g一定、抵抗なしのとき、飛距離を最大にする角度は？	R = v₀²sin(2θ)/gなので、θ = 45°で最大となる。この条件では余角θと90° − θの飛距離は等しい。
8	エレベーター内の体重計で、aᵧを上向き正とすると垂直抗力Nは？	接触が保たれる間、N = m(g + aᵧ)。上向き加速度はNを増やし、下向き加速度は減らす。等速度ならN = mg、自由落下ならaᵧ = −g、N = 0。
9	外力の力積を無視できるとき、弾性衝突と非弾性衝突はどう違う？	どちらも全運動量を保存する。弾性衝突は全運動エネルギーも保存するが、非弾性衝突は保存しない。通常の散逸的衝突では運動エネルギーの一部が内部エネルギーになる。
10	空気抵抗がなく、gが一定で下向きの投射運動では、各成分は？	yの正を上向きとすると、aₓ = 0、vₓ = v₀cosθ、aᵧ = −g、vᵧ = v₀sinθ − gt。θは水平から上向きに測る投射角。
11	自然長からの変位をxとする理想的な線形ばねのフックの法則は？	Fₛ = −kx。kはばね定数。負号は、ばねの力が伸びや縮みに逆らい、自然長へ戻す向きであることを示す。
12	距離、変位、平均の速さ、平均速度はどう違う？	距離は経路の全長、変位は位置のベクトル変化。平均の速さは距離/経過時間、平均速度は変位/経過時間。
13	スカラー量とベクトル量はどう違う？	スカラーには数値と単位があり、ベクトルにはさらに向きがある。速さはスカラー、速度はベクトルである。
14	保存力と非保存力の仕事はどう違う？	時間に依存しない保存力の仕事は始点と終点だけで決まり、−ΔUに等しい。閉経路ではゼロ。非保存力の仕事は力学的エネルギーを増減させることがある。
15	向心力と遠心力はどう違う？	向心力は、慣性系で円運動の加速度を生む合力の内向き成分。遠心力は回転系で導入する外向きの慣性項で、新しい物理的相互作用ではない。
16	合力の力積と運動量の関係は？	J = ∫F_net dt = F_avgΔt = Δp。質量一定ならΔp = m(v_f − v_i)。いずれもベクトルの関係。
17	一定加速度aの一次元運動を表す式は？	v = v₀ + at、Δx = v₀t + ½at²、v² = v₀² + 2aΔx、Δx = ½(v₀ + v)t。tは経過時間、v₀は初速度。
18	水平に対してθ傾いた固定斜面で、重力と接触力だけを受ける物体が静止できる条件は？	N = mg cosθで、静止摩擦は斜面上向きにfₛ = mg sinθ。ただしfₛ ≤ μₛNが必要。満たさなければ静止できない。単純な滑りモデルではfₖ = μₖNが相対的な滑りに逆らう。
19	半径一定の円運動で、角運動の量と接線運動、全加速度の大きさはどう関係する？	符号付き接線成分はv_t = rω、a_t = rα。速さv = \|v_t\|に対し、内向きa_r = v²/r。両成分が直交するので全体の大きさは\|a\| = √(a_t² + a_r²)。
20	孤立した二体の円軌道に対するニュートン版ケプラー第3法則は？	T² = 4π²r³/[G(M + m)]。rは一定の二体間距離、Tは周期。m ≪ Mなら分母は約GM。
21	一次元運動のグラフの傾きと符号付き面積は何を表す？	x–tの傾きは速度、v–tの傾きは加速度。v–tの符号付き面積は変位、a–tの符号付き面積は速度変化を表す。
22	外力の力積を無視できる衝突で二つの質点が合体すると、共通の最終速度は？	v_f = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)というベクトル関係になる。完全非弾性衝突であり、並進運動エネルギーは一般に減少する。
23	ニュートンの重力法則と球状質量分布の重力場は？	点質量間の引力の大きさはF = GMm/r²。球対称な源の外側ではg = GM/r²で内向き。内側のr > 0ではg = GM_enc(r)/r²で、半径r内の質量を用いる。
24	静止流体中を落下する物体の終端の速さを定める力のつり合いは？	速度が一定で合力はゼロ：mg = 浮力 + 抵抗力。浮力が無視できれば抵抗力 = mg。抵抗則は流れの状態による。
25	質量一定のニュートン力学の質点に対する仕事とエネルギーの定理は？	合計の仕事は運動エネルギー変化に等しい：W_net = ΔK = ½m(v_f² − v_i²)。
26	等速円運動に加速度があるのはなぜで、その値は？	速さは一定でも速度の向きが変わる。加速度は内向きで、大きさはa_c = v²/r = ω²r。
27	理想的な直線ロケット噴射に対するツィオルコフスキーの式と仮定は？	Δv = v_e ln(m₀/m_f)。ロケットに対する有効排気速度v_eが一定で、外力を無視する。m₀とm_fはロケットの全質量で、m_fには残った推進剤が含まれ得るため、乾燥質量とは限らない。
28	瞬間の速度と加速度を微分でどう定義する？	v = dr/dt、a = dv/dt = d²r/dt²。rは位置ベクトルで、対応する微分が存在することが前提。
29	通常の質点モデルでポテンシャルが時間に依存しないとき、K + Uが保存される条件は？	保存力だけが仕事をすればK + Uは一定。一般にはΔ(K + U) = W_ncなので、非保存力の総仕事がゼロなら十分。
30	ある力の瞬間の力学的仕事率はどう求める？	P = dW/dt = F·v = \|F\|\|v\|cosθ。F·vはベクトルの内積、θは力と速度のなす角。1 W = 1 J/s。
31	平坦なカーブを滑らずに走る車、円軌道の衛星、円すい振り子には、何が内向き加速度を与える？	車：静止摩擦。衛星：重力。円すい振り子：張力の水平成分T sinθで、θは鉛直からの角度。向心力は追加の相互作用ではない。
32	地表近くと点質量間では、どの重力ポテンシャルエネルギー式を使う？	地表近くの一様場ではh = 0を基準にU = mgh。点質量間では無限遠をゼロとしてU = −GMm/r。重ならない球対称の質量分布にも適用でき、rは中心間距離。